Các dạng bài tập tìm giá trị riêng của ma trận là phần quan trọng đối với môn đại số tuyến tính và hình học giải tích. Phương pháp này có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, kinh tế,… Cùng Học Thế Nào tìm hiểu về những khái niệm liên quan, cách tìm giá trị riêng cùng một số ví dụ minh hoạ giúp bạn hiểu rõ hơn về dạng bài tập này.
Giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận là gì?
Giả sử A là một ma trận vuông n x n. Gọi v là một vectơ phi tầm thường (tức là v ≠ 0) và λ là một số thực sao cho:
$$A\times v\;=\;\lambda\times v$$
Khi đó, λ được gọi là giá trị riêng của ma trận A và v được gọi là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ. Hiểu theo một cách đơn giản, giá trị riêng λ thể hiện mức độ kéo dài hoặc thu hẹp vectơ v khi nhân với ma trận A. Trong khi đó, vectơ riêng v giữ nguyên hướng sau khi nhân với ma trận A, chỉ thay đổi độ dài theo hệ số λ.
Ví dụ minh hoạ:
Ma trận A = [[2, 1], [1, 2]] có giá trị riêng λ1 = 3 và λ2 = 1.
- Vectơ riêng tương ứng với λ1 = 3 là v1 = [1, 1]. Nhân A với v1, ta được: Av1 = 3v1.
- Vectơ riêng tương ứng với λ2 = 1 là v2 = [1, -1]. Nhân A với v2, ta được: Av2 = v2.
Cách tìm giá trị riêng của ma trận, tìm vectơ riêng
Dưới đây là hướng dẫn bạn cách tìm giá trị riêng của ma trận, tìm vectơ riêng bằng 2 phương pháp phổ biến như sau:
Phương pháp 1: Sử dụng đa thức đặc trưng
- Bước 1: Tính đa thức đặc trưng p(λ) của ma trận A.
- Bước 2: Giải phương trình đặc trưng p(λ) = 0. Các nghiệm của phương trình này chính là các giá trị riêng của ma trận A.
- Bước 3: Đối với mỗi giá trị riêng λ, tìm vectơ riêng tương ứng bằng cách giải phương trình Av = λv.
Ví dụ:
Tìm trị riêng của ma trận và vectơ riêng của ma trận A:
A = [[2, 1], [1, 2]]
Giải:
Bước 1: Tính đa thức đặc trưng:
- p(λ) = det(A – λI) = (2 – λ)(2 – λ) – 1 = λ^2 – 4λ + 3
Bước 2: Giải phương trình đặc trưng:
- λ^2 – 4λ + 3 = 0
- (λ – 1)(λ – 3) = 0
Vậy các giá trị riêng của ma trận A là λ1 = 1 và λ2 = 3.
Bước 3: Tìm vectơ riêng tương ứng:
- Đối với λ1 = 1:
Giải phương trình Av = λ1v:
- [2, 1] x [v1] = [1] x [v1]
- [1, 2] x [v2] [1] x [v2]
Giải hệ phương trình này, ta thu được vectơ riêng tương ứng với λ1 = 1 là: v1 = [1, 1]
- Đối với λ2 = 3:
Giải phương trình Av = λ2v:
- [2, 1] * [v1] = [3] x [v1]
- [1, 2] [v2] [3] x [v2]
Giải hệ phương trình này, ta thu được vectơ riêng tương ứng với λ2 = 3 là: v2 = [1, -1]
Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp lặp
Có nhiều phương pháp lặp khác nhau để tìm trị riêng của ma trận, chẳng hạn như phương pháp lặp Jacobi, phương pháp lặp power,… Tuy nhiên, các phương pháp này không quá phổ biến bởi chúng thường được sử dụng để giải toán số cho các ma trận lớn.
Đối với các bạn học sinh, sinh viên nên ưu tiên sử dụng phương pháp đa thức đặc trưng để giải dạng toán liên quan đến giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận.
Tóm tắt cách tìm giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận
Chúng ta có thể tóm tắt các bước tính giá trị riêng của ma trận, vectơ riêng của ma trận A như sau:
Bước 1: Viết ma trận A với các giá trị theo dòng, cột.
Bước 2: Tính đa thức đặc trưng của ma trận: P(λ) = det(A – λl)
Bước 3: Giải hệ phương trình P(λ) = 0. Từ đó ta thu được các nghiệm của phương trình, tương ứng với các giá trị riêng cầm tìm.
Bước 4: Thay lần lần các giá trị vừa tìm được vào hệ phương trình (A – λl)X = 0. Các nghiệm của hệ mà chúng ta tìm được chính là vectơ riêng tương ứng của ma trận A.
Tính giá trị riêng của ma trận bằng Casio fx 580VN
Để giúp cho việc tìm giá trị riêng, tìm vectơ riêng của ma trận trở nên dễ dàng hơn, bạn có thể sử dụng máy tính cầm tay Casio. Cách làm này vừa đơn giản, chính xác mà lại giúp bạn tiết kiệm thời gian. Các thao tác cụ thể như sau:
Bước 1: Chọn “Menu”, sau đó nhấn phím 4 để chọn Matrix
Bước 2: Chọn phím 3 “MatA” sau đó nhập ma trận theo yêu cầu của bài toán
Bước 3: Tính det(A) bằng cách chọn AC sau đó chọn OPTN > Định thức
- Tính đa thức đặc trưng P(λ) = det(A – λl) = -λ3 + aλ2 + bλ + c
- Trong đó: a là tổng đường chéo chính của A, b = detA, c = det(A-I) + 1 – a – c (với I là ma trận chuyển vị)
Bài tập tìm giá trị riêng và vectơ riêng
Chúng tôi đã tổng hợp được một vài bài tập tìm giá trị riêng và vectơ riêng giúp bạn nắm vững lý thuyết và hiểu cách giải cho dạng bài tập này.
Bài tập 1:
Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận:
A = [[2, 1], [1, 2]]
Giải:
Sử dụng phương pháp đa thức đặc trưng:
Bước 1: Tính đa thức đặc trưng:
- p(λ) = det(A – λI) = (2 – λ)(2 – λ) – 1 = λ^2 – 4λ + 3
Bước 2: Giải phương trình đặc trưng:
- λ^2 – 4λ + 3 = 0
- (λ – 1)(λ – 3) = 0
Vậy các giá trị riêng của ma trận A là λ1 = 1 và λ2 = 3.
Bước 3: Tìm vectơ riêng tương ứng:
- Đối với λ1 = 1:
Giải phương trình Av = λ1v:
- [2, 1] * [v1] = [1] * [v1]
- [1, 2] [v2] [1] * [v2]
Giải hệ phương trình này, ta thu được vectơ riêng tương ứng với λ1 = 1 là: v1 = [1, 1]
- Đối với λ2 = 3:
Giải phương trình Av = λ2v:
- [2, 1] * [v1] = [3] * [v1]
- [1, 2] [v2] [3] * [v2]
Giải hệ phương trình này, ta thu được vectơ riêng tương ứng với λ2 = 3 là: v2 = [1, -1]
Kết quả:
- Giá trị riêng: λ1 = 1, λ2 = 3
- Vectơ riêng tương ứng:
- v1 = [1, 1]
- v2 = [1, -1]
Bài tập 2:
Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận:
C = [[0, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 0]]
Giải:
Cách tính giá trị riêng của ma trận bằng cách sử dụng phương pháp đa thức đặc trưng:
Bước 1: Tính đa thức đặc trưng:
p(λ) = det(C – λI) = -λ^3 + 3λ
Bước 2: Giải phương trình đặc trưng:
-λ^3 + 3λ = 0
λ(-λ^2 + 3) = 0
λ = 0, ±√3
Vậy các giá trị riêng của ma trận C là λ1 = 0, λ2 = √3 và λ3 = -√3.
Bước 3: Tìm vectơ riêng tương ứng:
- Đối với λ1 = 0:
Giải phương trình Cv = λ1v:
- [0, 1, 0] * [v1] = [0] * [v1]
- [1, 0, 1] [v2] [0] * [v2]
- [0, 1, 0] [v3] [0] * [v3]
Hệ phương trình này có vô số nghiệm. Giả sử v1 = 1, ta có thể tìm được v2 và v3:
v2 = [1, 0, -1]
v3 = [0, 1, 0]
- Đối với λ2 = √3:
Giải phương trình Cv = λ2v:
- [0, 1, 0] * [v1] = [√3] * [v1]
- [1, 0, 1] [v2] [√3] * [v2]
- [0, 1, 0] [v3] [√3] * [v3]
Giải hệ phương trình này, ta thu được vectơ riêng tương ứng với λ2 = √3 là:
v2 = [1, √3, 0]
v3 = [0, 0, 1]
- Đối với λ3 = -√3:
Tương tự như trường hợp λ2 = √3, ta có thể tìm được vectơ riêng tương ứng với λ3 = -√3 là:
v2 = [1, -√3, 0]
v3 = [0, 0, 1]
Kết quả:
Giá trị riêng: λ1 = 0, λ2 = √3, λ3 = -√3
Vectơ riêng tương ứng:
- v1 = [1, 0, -1]
- v2 = [1, √3, 0], [1, -√3, 0]
- v3 = [0, 1, 0]
Bài tập 3:
Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận:
A = [[2, 1], [1, 2]]
Giải:
Bước 1: Tính đa thức đặc trưng:
- p(λ) = det(A – λI) = (2 – λ)(2 – λ) – 1 = λ^2 – 4λ + 3
Bước 2: Giải phương trình đặc trưng:
- λ^2 – 4λ + 3 = 0
- (λ – 1)(λ – 3) = 0
Vậy các giá trị riêng của ma trận A là λ1 = 1 và λ2 = 3.
Bước 3: Tìm vectơ riêng tương ứng:
- Đối với λ1 = 1:
Giải phương trình (A – λ1I)v = 0:
[2 – 1, 1] * [v1] = [0] * [v1]
[1, 2 – 1] [v2] [0] * [v2]
Giải hệ phương trình này, ta thu được vectơ riêng tương ứng với λ1 = 1 là:
v1 = [1, 1]
- Đối với λ2 = 3:
Giải phương trình (A – λ2I)v = 0:
[2 – 3, 1] * [v1] = [0] * [v1]
[1, 2 – 3] [v2] [0] * [v2]
Giải hệ phương trình này, ta thu được vectơ riêng tương ứng với λ2 = 3 là:
v2 = [1, -1]
Kết quả:
Giá trị riêng: λ1 = 1, λ2 = 3
Vectơ riêng tương ứng:
- v1 = [1, 1]
- v2 = [1, -1]
Lời kết
Bài viết trên đây của chúng tôi đã hướng dẫn bạn chi tiết về cách tìm giá trị riêng của ma trận, bao gồm cả lý thuyết cơ bản, các phương pháp giải toán và ví dụ minh họa. Hy vọng những thông tin này sẽ hữu ích cho bạn trong việc học tập và nghiên cứu bộ môn Hình học giải tích và Đại số tuyến tính.
