Ma trận bậc thang là gì? Đây là một dạng ma trận đặc biệt được sử dụng trong đại số tuyến tính. Nó được tạo ra bằng cách thực hiện một số phép biến đổi nhất định trên một ma trận ban đầu. Ma trận bậc thang được ứng dụng rất nhiều trong toán học, như giải hệ phương trình tuyến tính, tính nghịch đảo của ma trận và xác định hạng của ma trận.
Ma trận bậc thang là gì?
Ma trận bậc thang là một dạng ma trận đồng thời thỏa mãn 3 điều kiện như sau:
- Điều kiện 1: Mỗi hàng của ma trận bắt đầu bằng một phần tử khác 0 (gọi là phần tử dẫn).
- Điều kiện 2: Dưới mỗi phần tử dẫn của một hàng, tất cả các phần tử đều bằng 0.
- Điều kiện 3: Các phần tử dẫn của các hàng nằm dưới nhau nằm ở các cột bên phải so với các phần tử dẫn của các hàng nằm trên.
Ví dụ minh hoạ về ma trận bậc thang:
- Ma trận A như sau được gọi là ma trận bậc thang, ma trận A có dạng:
$$ A=\begin{pmatrix}2&4&2&-5\\0&5&6&4\\0&0&1&7\\0&0&0&9\end{pmatrix} $$
- Trong khi đó, ma trận B không được gọi là ma trận bậc thang, ma trận B có dạng:
$$ B=\begin{pmatrix}2&4&-2&-5\\0&5&6&4\\0&4&1&2\\0&0&0&9\end{pmatrix} $$
Cách tạo ma trận bậc thang
Ma trận bậc thang có thể được tạo ra bằng cách thực hiện phép khử Gauss trên một ma trận ban đầu. Phép khử Gauss bao gồm các phép biến đổi sau:
- Nhân một hàng với một số khác 0.
- Cộng một hàng với một bội số của một hàng khác.
- Đổi vị trí hai hàng.
Ví dụ: Cho ma trận ban đầu A như sau:
$$A=\begin{pmatrix}2&1&-1\\3&4&-2\\1&1&0\end{pmatrix}$$
Ta có thể thực hiện các phép biến đổi sau để đưa ma trận về dạng bậc thang:
$$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$
Ứng dụng của ma trận bậc thang
Ma trận bậc thang có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải bài tập trong phần Đại số tuyến tính, cụ thể như sau:
Giải hệ phương trình tuyến tính
Ma trận bậc thang có thể được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính bằng cách sử dụng quy tắc bù trừ.
Giả sử ta có hệ phương trình tuyến tính sau:
- ax + by + cz = d
- ex + fy + gz = h
- ix + jy + kz = j
Hệ phương trình này có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:
$$ \begin{pmatrix}a&b&c\\e&f&g\\i&j&k\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d\\h\\j\end{pmatrix} $$
Để giải hệ phương trình này, ta có thể thực hiện các phép biến đổi trên ma trận để đưa nó về dạng bậc thang. Sau đó, ta có thể sử dụng quy tắc bù trừ để giải hệ phương trình.
Ví dụ:
$$ \begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\2\\0\end{pmatrix} $$
Từ ma trận bậc thang, ta có thể suy ra rằng:
- x = 6
- y = 2
- z = 0
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = 6, y = 2 và z = 0.
Tính nghịch đảo của ma trận
Ma trận bậc thang có thể được sử dụng để tính nghịch đảo của một ma trận bằng cách sử dụng quy tắc bù trừ.
Nghịch đảo của một ma trận A là một ma trận B sao cho AB = I, trong đó I là ma trận đơn vị.
Để tính nghịch đảo của ma trận A, ta có thể thực hiện các phép biến đổi trên ma trận A để đưa nó về dạng bậc thang. Sau đó, ta có thể sử dụng quy tắc bù trừ để tính ma trận B sao cho AB = I.
Ví dụ: Cho ma trận bậc thang như sau:
$$ \begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I\\0\\0\end{pmatrix} $$
Từ ma trận bậc thang, ta có thể suy ra rằng:
$$ B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} $$
Vậy nghịch đảo của ma trận A là ma trận B.
Xác định rank của ma trận
Tìm ma trận bậc thang có thể giúp tìm rank của ma trận bằng cách đếm số lượng các phần tử dẫn trong ma trận bậc thang.
Để xác định rank của ma trận, ta có thể đếm số lượng các phần tử dẫn trong ma trận bậc thang. Rank của ma trận bằng số lượng các phần tử dẫn.
Ví dụ:
$$ \begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix} $$
Ma trận bậc thang này có 2 phần tử dẫn, do đó rank của ma trận là 2.
Ma trận bậc thang rút gọn là gì?
Ma trận bậc thang rút gọn là dạng đặc biệt của ma trận bậc thang. Theo đó, ta loại bỏ các phần từ không cần thiết trong ma trận mà chỉ giữ lại những thông tin quan trọng dùng để tính toán. Việc làm này giúp chúng ta giảm thiểu sai số và tiết kiệm thời gian trong quá trình tính toán.
Ma trận bậc thang rút gọn thoả mãn các điều kiện sau đây:
- Phần tử dẫn của mỗi hàng khác 0 phải bằng 1.
- Dưới mỗi phần tử dẫn của một hàng, tất cả các phần tử đều bằng 0.
Ví dụ: Ma trận bậc thang rút gọn A:
$$ A=\begin{pmatrix}1&0&0&2\\0&1&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix} $$
Cách thức tạo ma trận bậc thang rút gọn
Ta có thể rút gọn một ma trận bậc thang bằng cách thực hiện thêm các phép biến đổi sau:
- Nhân một hàng với một số khác 0.
- Cộng một hàng với một bội số của một hàng khác.
Tuy nhiên, ta cần lưu ý rằng không phải mọi ma trận đều có thể được biến đổi thành dạng bậc thang rút gọn. Ví dụ, ma trận sau không thể được biến đổi thành ma trận bậc thang rút gọn:
$$ A=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&1&1\end{pmatrix} $$
Tính chất
Ma trận bậc thang rút gọn có một số tính chất quan trọng sau:
- Mọi ma trận có thể được biến đổi thành ma trận bậc thang rút gọn (nếu có thể).
- Ma trận bậc thang rút gọn của một ma trận là duy nhất.
- Hai ma trận có cùng rank sẽ có cùng ma trận bậc thang rút gọn.
Bài tập về ma trận bậc thang có lời giải
Dưới đây là tổng hợp một số bài tập giúp bạn củng cố lý thuyết và cách giải đối với dạng ma trận bậc thang:
Bài tập 1
Cho ma trận A:
$$ A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix} $$
Hãy biến đổi ma trận A về dạng bậc thang.
Lời giải:
Để biến đổi ma trận A về dạng bậc thang, ta thực hiện các phép biến đổi sau:
- Trừ hàng 2 cho 4 lần hàng 1:
$$ A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&-3\\7&8&9\end{pmatrix} $$
- Trừ hàng 3 cho 7 lần hàng 1:
$$ A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&-3\\0&-2&0\end{pmatrix} $$
- Nhân hàng 2 với -1:
$$ A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&3\\0&2&0\end{pmatrix} $$
- Cộng hàng 3 với 2 lần hàng 2:
$$ A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&3\\0&0&6\end{pmatrix} $$
Vậy ma trận bậc thang của ma trận A là:
$$ A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&3\\0&0&6\end{pmatrix} $$
Bài tập 2
Cho ma trận bậc thang như sau:
$$ \begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\2\\0\end{pmatrix} $$
Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.
Giải:
Từ ma trận bậc thang, ta có thể suy ra rằng:
- x = 6
- y = 2
- z = 0
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = 6, y = 2 và z = 0.
Bài tập 3
Cho ma trận A:
$$ A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix} $$
Hãy tính nghịch đảo của ma trận A bằng phương pháp ma trận bậc thang.
Lời giải:
Để tính nghịch đảo của ma trận A, ta thực hiện các phép biến đổi sau:
- Gán ma trận A bên trái và ma trận đơn vị I bên phải: [A | I]
- Biến đổi ma trận A về dạng bậc thang: [I | B]
- Ma trận B chính là nghịch đảo của ma trận A.
Ví dụ:
[1 2 3 | 1 0 0]
[4 5 6 | 0 1 0]
[7 8 9 | 0 0 1]
==>
[I 0 0 | 0 -1 1]
[0 1 0 | 1 -2 3]
[0 0 1 | 0 1 -1]
==>
[1 0 0 | 0 -1 1]
[0 0 1 | 1 -2 3]
[0 0 0 | 0 1 -1]
Vậy nghịch đảo của ma trận A là:
$$ A=\begin{pmatrix}0&-1&1\\1&-2&3\\0&1&-1\end{pmatrix} $$
Lời kết
Ma trận bậc thang là một công cụ hỗ trợ vô cùng hữu ích trong đại số tuyến tính và khoa học máy tính. Hiểu rõ về nó giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp một cách hiệu quả và chính xác.
