Phương pháp Cramer là gì? Điều kiện và công thức áp dụng

Phương pháp Cramer là một phần không thể thiếu trong chương trình toán học của học sinh và sinh viên đặc biệt là trong phần Đại số tuyến tính. Phương pháp này giúp cho việc giải quyết các hệ phương trình này, đặc biệt là khi số ẩn bằng số phương trình, có thể trở nên dễ dàng hơn. Cùng Học Thế Nào tìm hiểu về khái niệm, điều kiện áp dụng, công thức và ứng dụng của phương pháp toán học này.

Khái niệm phương pháp Cramer

Phương pháp Cramer là một phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính dựa trên việc sử dụng các định thức ma trận. Phương pháp này chỉ áp dụng cho các hệ phương trình có số ẩn bằng số phương trình và ma trận hệ số khả nghịch (tức là định thức của ma trận không bằng 0). Được đặt theo tên của nhà toán học người Thụy Sĩ Gabriel Cramer.

Công thức Cramer

Giả sử ta có một hệ phương trình tuyến tính với số ẩn bằng số phương trình:

• a1x + b1y + c1z = d1
• a2x + b2y + c2z = d2
• a3x + b3y + c3z = d3

Ta có thể giải hệ Cramer này bằng cách tính giá trị của mỗi ẩn:

• Giá trị của x: $$x\;=\;(\frac{\vert d1\;b1\;c1\vert}{\;\vert a1\;b1\;c1\vert})\;+\;(\frac{\vert d2\;b2\;c2\vert}{\vert a2\;b2\;c2\vert})\;+\;(\frac{\vert d3\;b3\;c3\vert}{\vert a3\;b3\;c3\vert})$$

• Giá trị của y: $$y\;=\;(\frac{\vert a1\;d1\;c1\vert}{\vert a1\;b1\;c1\vert})\;+\;(\frac{\vert a2\;d2\;c2\vert}{\vert a2\;b2\;c2\vert})\;+\;(\frac{\vert a3\;d3\;c3\vert}{\vert a3\;b3\;c3\vert})$$

• Giá trị của z: $$z\;=\;(\frac{\vert a1\;b1\;d1\vert}{\vert a1\;b1\;c1\vert})\;+\;(\frac{\vert a2\;b2\;d2\vert}{\vert a2\;b2\;c2\vert})\;+\;(\frac{\vert a3\;b3\;d3\vert}{\vert a3\;b3\;c3\vert})$$

• |a1 b1 c1| là định thức của ma trận hệ số (ma trận A).
• |d1 b1 c1|, |a2 d2 c2|, |a3 b3 d3| là các định thức thu được khi thay lần lượt cột thứ nhất, thứ hai, thứ ba của ma trận A bằng vectơ hệ số tự do (vectơ d).

Điều kiện áp dụng

Tuy nhiên, quy tắc Cramer chỉ có thể áp dụng cho các hệ phương trình thỏa mãn một số điều kiện nhất định, cụ thể như sau:

1. Hệ phương trình có số ẩn bằng số phương trình:

Hệ phương trình cần có số lượng phương trình bằng số lượng ẩn để xác định giá trị của từng ẩn. Ví dụ, hệ phương trình sau thỏa mãn điều kiện này:

• 2x + 3y – z = 4
• 3x + 2y + z = -1
• x + y + z = 5

2. Ma trận hệ số khả nghịch:

Ma trận hệ số được ký hiệu là A, là ma trận vuông được tạo thành từ các hệ số của hệ phương trình. Một ma trận được gọi là khả nghịch nếu định thức của nó khác 0.

Điều kiện này đảm bảo rằng hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Ví dụ, ma trận hệ số của hệ phương trình trên có định thức là 11, khác 0, do đó ma trận này khả nghịch.

Ưu điểm, nhược điểm của phương pháp Cramer

Cũng giống như bất kỳ phương pháp nào, phương pháp Cramer cũng có những ưu điểm và nhược điểm riêng mà bạn cần cân nhắc trước khi áp dụng.

Ưu điểm

Phương pháp này có những ưu điểm nổi trội như sau:

• Đơn giản và dễ hiểu: Công thức của phương pháp này tương đối đơn giản và dễ hiểu, ngay cả với những học sinh chưa có nhiều kiến thức về đại số tuyến tính.
• Hiệu quả cho các hệ phương trình nhỏ: Đây là một phương pháp hiệu quả để giải các hệ phương trình tuyến tính có số lượng ẩn nhỏ (thường là 2 hoặc 3 ẩn).
• Cho phép giải hệ phương trình một cách trực quan: Bạn có thể giải hệ phương trình bằng cách tính toán các định thức ma trận, giúp ta có thể hình dung rõ ràng hơn về mối quan hệ giữa các ẩn và các hệ số của hệ phương trình.
• Áp dụng cho các hệ phương trình có nhiều ẩn: Phương pháp này có thể được áp dụng cho các hệ phương trình có nhiều ẩn. Tuy nhiên hiệu quả của phương pháp sẽ giảm dần khi số lượng ẩn tăng dần.

Nhược điểm của quy tắc Cramer

Khi sử dụng công thức Cramer, bạn cần cân nhắc về những nhược điểm như sau:

• Việc tính toán định thức ma trận có thể trở nên phức tạp: Khi hệ phương trình có số lượng ẩn lớn, việc tính toán định thức ma trận có thể trở nên phức tạp hơn và tốn nhiều thời gian. Điều này có thể dẫn đến sai sót trong quá trình giải toán nếu như bạn không thực hiện cẩn thận.
• Phương pháp không hiệu quả khi ma trận hệ số có chứa nhiều số thập phân hoặc số gần bằng nhau: Khi giải các hệ phương trình có ma trận hệ số chứa nhiều số thập phân hoặc số gần bằng nhau, kết quả giải có thể bị sai lệch do sai số trong quá trình tính toán.
• Không phù hợp để giải các hệ phương trình có số lượng ẩn lớn: Phương pháp này không hiệu quả khi giải các hệ phương trình có số lượng ẩn lớn. Trong những trường hợp này, bạn nên sử dụng các phương pháp giải khác như phương pháp Gauss hoặc phương pháp ma trận nghịch đảo.

Ứng dụng thực tế của quy tắc Cramer

Dưới đây là một số ví dụ cụ thể về ứng dụng của quy tắc Cramer:

• Giải các bài toán hình học: Quy tắc này được sử dụng để giải các bài toán hình học liên quan đến việc tìm giao điểm của các đường thẳng, đường tròn, hoặc các mặt phẳng. Ví dụ, ta có thể sử dụng quy tắc Cramer để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong mặt phẳng.
• Giải các bài toán vật lý: Được sử dụng để giải các bài toán vật lý liên quan đến việc tìm các đại lượng vật lý như lực, vận tốc, gia tốc, v.v.
• Giải các bài toán kinh tế: Ngoài ra, quy tắc Cramer được sử dụng để giải các bài toán kinh tế liên quan đến việc tìm các đại lượng: giá cả, sản lượng, lợi nhuận,…
• Giải các hệ phương trình trong khoa học máy tính: Ví dụ như chúng ta có thể sử dụng quy tắc Cramer để tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm trong một mạng lưới.

Một số bài tập giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer

Dưới đây là một số bài tập giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer mà bạn có thể tham khảo:

Bài tập 1:

Giải hệ phương trình:

2x + 3y – z = 4

3x + 2y + z = -1

x + y + z = 5

Lời giải:

Bước 1: Tính định thức của ma trận hệ số:

|2 3 -1| = 11

Bước 2: Tính các định thức sau:

|4 3 -1| = 19

|3 2 1| = 7

|1 1 5| = 26

Bước 3: Áp dụng công thức phương pháp Cramer:

x = (19 / 11) = 1.73

y = (7 / 11) = 0.64

z = (26 / 11) = 2.36

Kết luận:

Nghiệm của hệ phương trình là: x = 1.73, y = 0.64, z = 2.36.

Bài tập 2:

Giải hệ phương trình:

x – 2y + 3z = 1

2x + y – z = -2

3x + 3y – 2z = -3

Lời giải:

Bước 1: Tính định thức của ma trận hệ số:

|1 -2 3| = -11

Bước 2: Tính các định thức sau:

|1 -2 -3| = 14

|2 1 -1| = -5

|3 3 -2| = 17

Bước 3: Áp dụng công thức phương pháp Cramer:

x = (-14 / -11) = 1.27

y = (-5 / -11) = 0.45

z = (17 / -11) = -1.55

Kết luận:

Nghiệm của hệ phương trình là: x = 1.27, y = 0.45, z = -1.55.

Bài tập 3:

Giải hệ phương trình:

x + 2y – 3z = 5

2x + 3y + z = -2

3x + y – 2z = 4

Lời giải:

Tính định thức của ma trận hệ số:

|1 2 -3| = -1

Vì định thức của ma trận hệ số bằng 0, hệ phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

Hệ phương trình vô nghiệm.

Lời kết

Phương pháp Cramer là một công cụ hữu ích và hiệu quả để giải quyết các hệ phương trình tuyến tính với số ẩn bằng số phương trình. Phương pháp nhìn chung khá đơn giản, dễ hiểu và dễ áp dụng, bạn có thể áp dụng cho việc giải các bài toán hệ phương trình có nhiều ẩn.