Sách Cơ sở của hình học của Euclid
HTN: Cuốn “Cơ sở của hình học” của Euclid lần đầu tiên được dịch và xuất bản: NXB Tri Thức và ZenBook, Quý IV năm 2015, Giá bìa: 99.000 Đ.
Dự án dịch Euclid do Đàm Thanh Sơn và Nguyễn Trí Dũng khởi xướng tháng 5 năm 2013
A. Lời giới thiệu của Giáo sư Ngô Bảo Châu cho bản dịch tiếng Việt
Euclid viết sách Cơ sở của hình học ở Alexandria khoảng 300 năm trước Công nguyên. Đây là thời kỳ Hellenistic của triết học cổ đại, thời kỳ mà triết học cổ đại đã lan toả tới những vùng đất chịu ảnh hưởng của văn hoá Hy Lạp mà tiêu biểu là thành Alexandria bên bờ Phi của Địa Trung Hải. Nét chung của triết học thời kỳ Hellenistic, phần nào thể hiện trong sách Cơ sở của hình học, là tư duy đã đạt đến mức tinh tuý, nhưng có lẽ đã mất đi tính bay bổng của thời kỳ trước Socrates và sức mạnh tư duy của Plato, Socrates.
Người ta cho rằng hầu hết nội dung của sách Cơ sở của hình học được truyền lại từ những tiền nhân như Pythagoras, Plato, Eudoxus … Tuy nhiên, khác với Pythagoras và Plato, Euclid loại bỏ triệt để các yếu tố siêu hình được gán cho các số và các hình. Các số hữu tỉ không còn được coi là minh chứng cho sự hài hoà của vũ trụ, các khối đều trong không gian không còn được coi là ý niệm toán học nấp đằng sau các phạm trù siêu hình như kim thuỷ hoả thổ… Hệ thống suy luận logic xuất phát từ hệ tiên đề của Plato được Euclid sử dụng một cách triệt để, các chỉ tiêu về tính chặt chẽ của chứng minh được áp dụng một cách không khoan nhượng. Theo một nghĩa nào đó, Cơ sở của hình học là quyển sách thuần tuý toán học đầu tiên của nhân loại và là tờ giấy khai sinh ra toán học như một bộ môn độc lập, tuy vẫn còn là một bộ phận của triết học. Cách Euclid xây dựng một hệ thống kiến thức cao vút dựa trên số ít tiên đề nền và lấy luật logic làm chất gắn kết, đã là hình mẫu cho sự phát triển của toán học cho đến ngày hôm nay.
Trải qua 2400 năm, các mệnh đề phát biểu và chứng minh trong Cơ sở của hình học vẫn còn tươi tắn một cách đáng ngạc nhiên. Từ hình học tam giác mà chúng ta học những năm cấp hai, cho đến chứng minh tuyệt đẹp bằng phản chứng cho sự tồn tại vô hạn những số nguyên tố, từ thuật toán Euclid tìm ước số chung lớn nhất mà chúng ta vẫn phải học trong giáo trình cơ sở toán học trong tin học, cho đến chứng minh không tồn tại khối đều nào khác ngoài năm khối đều của Platon, đều là những nội dung đã được triển khai một cách đầy đủ trong sách Cơ sở của hình học.
Đấy có lẽ là những lý do tại sao Cơ sở của hình học được coi là một trong những quyển sách có ảnh hưởng nhất tới sự phát triển của văn minh nhân loại. Sách đã được tái bản hàng ngàn lần, số lần tái bản có lẽ chỉ thua Kinh thánh. Từ thời kỳ phục hưng cho đến đầu thế kỷ hai mươi, sách của Euclid được coi là một trong những quyển sách mà những người có học phải đọc.
Lớn lên từ Cơ sở của hình học, Toán học đã đi những bước rất xa. Bây giờ bạn có thể tìm được vô số sách toán với nhiều nội dung hơn, trình bày sáng sủa hơn sách của Euclid. Tuy vậy, tôi vẫn tin rằng người có học vẫn cần đọc Euclid vào một thời điểm nào đó trong cuộc đời mình, vẫn cần có Cơ sở của hình học đặt trên giá sách.
Cảm ơn nhà xuất bản Tri Thức và Nhóm dịch giả đã đem sách Cơ sở của hình học của Euclid đến với độc giả Việt nam.
Ngô Bảo Châu
B. Lời giới thiệu của Giáo sư Richard Fitzpatrick cho bản tiếng Anh[1]
Cho đến nay, Cơ sở của hình học của Euclid là tác phẩm toán học kinh điển trứ danh nhất, và cũng chiếm lĩnh vị trí đặt biệt khi là quyển sách giáo khoa về toán học cổ nhất được sử dụng liên tục. Chúng ta không biết nhiều về tác giả, ngoài chuyện ông đã sống ở Alexandria vào khoảng năm 300 TCN. Các chủ đề chính của quyển sách bao gồm hình học, tỷ lệ thức và lý thuyết số. Hầu hết các định lý trong tác phẩm không phải là khám phá của cá nhân Euclid, mà là thành quả của các nhà toán học Hy Lạp trước đó như Pythagoras (và môn đệ của ông), Hippocrates ở Chios, Theaetetus ở Athens và Eudoxus ở Cnidos. Tuy nhiên, Euclid được ghi nhận công lao vì ông đã sắp xếp các định lý này theo một trật tự lô-gic (cho dù phải thú nhận rằng, không phải lúc nào cũng chặt chẽ như trong yêu cầu đối với toán học hiện đại), thể hiện rằng chúng được dẫn ra từ năm tiên đề đơn giản. Euclid cũng được đánh giá cao do đã đưa ra những chứng minh cụ thể tài tình cho những định lý đã được khám phá trước đó: chẳng hạn như Định lý 48 ở Quyển 1.
Các phép dựng hình được khai triển trong quyển sách chỉ giới hạn trong các thao tác thực hiện bằng thước thẳng và compa. Hơn thế nữa, các chứng minh thực nghiệm dựa vào đo đạc hoàn toàn không được sử dụng: tức là bất cứ sự so sánh nào giữa hai đại lượng chỉ được phép kết luận là chúng bằng nhau hoặc là đại lượng này lớn hơn đại lượng kia. Cơ sở của hình học gồm 13 quyển.
Quyển 1 nêu các định lý căn bản của hình học phẳng, bao gồm ba định lý của tam giác đồng dạng, một số định lý liên quan đến đường thẳng song song, định lý về tổng các góc trong một tam giác, và định lý Pythagoras.
Quyển 2 thường được cho là liên quan đến “hình học giải tích”, bởi hầu hết các định lý trong đó đều có một hệ quả đại số đơn giản.
Quyển 3 nghiên cứu hình tròn và các tính chất của chúng, và bao gồm các định lý về đường tiếp tuyến và góc nội tiếp.
Quyển 4 nói về các đa giác thông thường nội tiếp – và ngoại tiếp – hình tròn.
Quyển 5 xây dựng lý thuyết về tỷ lệ thức số học.
Quyển 6 áp dụng lý thuyết tỷ lệ thức vào hình học phẳng, và bao gồm các định lý về các hình đồng dạng[2].
Quyển 7 liên quan đến lý thuyết số căn bản: ví dụ như số nguyên tố, mẫu số chung lớn nhất v.v.
Quyển 8 nói về cấp số nhân.
Quyển 9 bao gồm các ứng dụng của hai quyển trước, và các định lý về sự vô hạn của các số nguyên tố.
Quyển 10 phân lớp các đại lượng vô ước (tứ là vô tỉ) sử dụng phương pháp gọi là “phương pháp vét kiệt”, là tiền thân của phép tích phân.
Quyển 11 liên quan đến các định lý cơ bản của hình học không gian.
Quyển 12 tính toán thể tích tương đối của hình nón, hình chóp, hình trụ và hình cầu sử dụng phương pháp vét kiệt.
Cuối cùng, quyển 13 nghiên cứu năm khối đa diện đều Platon.
Ấn bản này trình bày nội dung tiếng Hy Lạp của tác phẩm – đã được J.L.Heiberg biên tập (1883-1885) – cùng với bản dịch sang tiếng Anh hiện đại, và mục lục từ vựng Hy Lạp – Anh. Các quyển 14 và 15 giả mạo, và các bình giải, vốn được thêm vào trong nhiều thế kỷ qua sẽ không có trong ấn bản này. Mục đích của bản dịch là làm cho các luận điểm sáng sủa và mạch lạc hơn, trong khi vẫn bám sát ý của bản gốc tiếng Hy Lạp. Các nội dung đặt trong ngoặc vuông (cả trong phần tiếng Hy Lạp và tiếng Anh) là của Heiberg, được suy ra từ văn bản gốc (một số quá rõ ràng hoặc không hữu dụng đã được bỏ đi). Nội dung để trong ngoặc đơn (phần tiếng Anh) là nội dung ngụ ý nhưng không viết ra trong phần tiếng Hy Lạp. Xin cám ơn Mariusz Wodzicki (Berkeley) đã cố vấn sắp chữ, Sam Watson & Jonathan Fenno (U. Mississippi) và Gregory Wong (UCSD) đã chỉ ra nhiều sai sót khi thực hiện Quyển 1.
Richard Fitzpatrick
C. TIỂU SỬ EUCLID[3]
Người ta không biết nhiều về cuộc đời của Euclid. Từ điển Tiểu sử Khoa học (Dictionary of Scientific Biography) mở đầu bài viết dài về Euclid bằng những lời này: “Mặc dù Euclid là nhà toán học trứ danh nhất mọi thời đại, là người mà tên tuổi đã đồng nghĩa với hình học cho đến tận thế kỷ 20, nhưng chỉ có hai sự kiện về cuộc đời ông được biết đến, mà ngay cả những sự kiện này cũng chưa phải là không còn tranh cãi”. Những “sự kiện” này được suy diễn hay đồn đoán dựa vào việc tham khảo các tác phẩm cổ đại. Đầu tiên là ông sống ở thời sau Plato (mất vào năm 347 TCN) và trước Archimedes (sinh năm 287 TCN). Thứ đến là ông làm việc ở Alexandria.
Ông không phải là Euclid ở Megara, là một người bạn của Plato, là người vẫn bị nhầm với ông.
Heath[4] cho biết khả năng khả dĩ nhất là Euclid (tác giả của Cơ sở của hình học) tiếp nhận giáo dục về toán tại Athen từ các học trò của Plato bởi vì hầu hết những nhà hình học có thể dạy ông đều xuất thân từ trường đó, và các nhà toán học mà Cơ sở của hình học của Euclid dựa vào đều sống và dạy ở Athen. Nếu chúng ta đồng ý với những điều này thì chúng ta xác định rằng Euclid sống sau năm 347 TCN.
Quan điểm cho rằng ông sinh trước Archimede là dựa vào một chỉ mục tham khảo dẫn đến tác phẩm Về hình cầu và hình trụ của Archimede. Tuy nhiên, chỉ mục tham khảo đó bây giờ đã bị cho là được chèn vào sau này.
Mặc dù vậy, một số người vẫn giữ quan điểm là chỉ có thể hơi chắc chắn rằng ông sống trước hoặc cùng thời với Appollonius (là người sống vào khoảng năm 200 TCN). Một chút bằng chứng cho chuyện này cũng là bằng chứng cho việc ông làm việc ở Alexandria là một tham khảo từ Pappus (khoảng năm 320 CN). Pappus nhận xét về Apollonius rằng Apollonius “sống khá lâu với các học trò của Euclid ở Alexandria, và nhờ thế mà ông có được thói quen tư quy khoa học như vậy”. Nếu chúng ta tin Pappus trong chuyện này thì chúng ta phải đặt Euclid vào thời gian trước năm 200 TCN.
Heath cũng rút ra từ nhận xét của Pappus rằng Euclid dạy và mở một ngôi trường ở Alexandria. Tuy nhiên, những người khác phản bác rằng cho dù rõ ràng là ông có học trò ở Alexandria thì điều đó cũng không chứng minh được là ông làm việc ở đó.
Dù gì đi nữa, chính Apollinius đã tham khảo Euclid trong lời giới thiệu của Quyển I bộ Các đường conic. Bởi vì Apollonious sinh vào khoảng năm 262 TCN cho nên Euclid sẽ phải trước 200 TCN.
Đấy là tất cả những gì chúng ta biết về cuộc đời của Euclid. Thế còn tác phẩm?
Heath trích Proclus (410-485 CN) như sau:
“Euclid đã biên soạn Cơ sở của hình học từ việc tập hợp các định lý của Euxodus, hoàn chỉnh nhiều định lý của Theaeterus, và cũng chứng minh một cách không thể chối cãi được những định lý vốn chỉ được chứng minh một cách lỏng lẻo bởi các bậc tiền bối”.
Từ điển Tiểu sử Khoa học nói rằng:
“Danh tiếng lừng lẫy của Euclid nằm ở bộ Cơ sở của hình học, trong đó ông viết mười ba quyển và đã để lại một ảnh hưởng to lớn lên tư duy của con người mạnh mẽ hơn bất cứ tác phẩm nào khác ngoại trừ Kinh thánh. Bởi lý do đó, ông được biết đến trong thời cổ đại như là ‘Người viết nên Cơ sở của hình học’ và đôi khi chỉ đơn giản là “Nhà hình học”. Đã từng có các Cơ sở của hình học được viết trước Euclid – đáng chú ý nhất là các tác phẩm của Hippocrates, Leo and Theudius ở Magnesia – nhưng tác phẩm của Euclid đã vượt qua chúng một cách ngoạn mục đến nỗi bây giờ chúng chỉ còn được biết đến qua các chỉ mục tham khảo của Eudemus’s như là Proclus đã dẫn lại”.
Nhiều tác phẩm khác được cho là của Euclid, trong thiên văn học, quang học, lý thuyết âm nhạc, cũng như là trong toán học. Nhiều tác phẩm trong số đó đã không còn hiện hữu nữa, hoặc chỉ còn lại những mảnh vỡ. Sau Cơ sở của hình học, công trình toán học quan trọng nhất của ông vẫn còn giá trị là Dữ liệu (Data), là tác phẩm rõ ràng được viết ra như một công cụ để giải toán bằng phép phân tích. Quyển Về sự phân chia (của các số) – vẫn còn lưu truyền qua bản tiếng Ả rập – nói về việc phân chia các số thành các số khác không đồng dạng. Quyển Các hệ quả được cho là của Euclid đã bị mất, nhưng vẫn được biết đến thông qua các tác phẩm của Pappus. Nó bao gồm không phải là các hệ quả như trong Cơ sở của hình học, mà là theo Heath, “các định lý về lý thuyết của các đường cát tuyến và hình học xạ ảnh hiện đại”. Euclid cũng được cho là đã viết một chuyên luận về các mặt cắt với hình nón, dày bốn quyển, là tác phẩm đã vượt qua tác phẩm Các hình nón của Apollonius, vốn đã bị mất.
Hai tác phẩm quang học được cho là của Euclid, Quang học (Optics) và Phản xạ học (Catropics), đã mở ra truyền thống rất dài của môn quang hình học, duy trì cho đến tận đầu thế kỷ mười bảy. […].
Những gì chúng ta biết về Eucid là biết qua tác phẩm sáng chói của ông đã để lại. Quyển sách mà bạn đang cầm trên tay cho bạn cơ hội được nghiên cứu tác phẩm một cách trực tiếp và tự mình nghiền ngẫm xem vì sao “nhà toán học khả kính nhất của mọi thời đại” lại được vinh danh trong suốt hơn hai thiên niên kỷ.
[1] Được sự đồng ý của Giáo sư Richard Fitzpatrick, là người thực hiện bản tiếng Anh mà chúng tôi dùng để dịch, chúng tôi đăng lại nguyên văn lời giới thiệu của ông để độc giả có thêm thông tin về tác phẩm. (ND)
[2] Do điều kiện xuất bản lần này, chúng tôi chỉ giới thiệu nội dung của các quyển từ 1 đến 6 trong bản dịch tiếng Việt. Chúng tôi hy vọng sẽ có điều kiện thực hiện và giới thiệu tiếp các quyển còn lại đến độc giả Việt Nam trong tương lai gần. (ND)
[3] Để độc giả có thêm thông tin về Euclid và di sản của ông, chúng tôi dịch nguyên văn phần tiểu sử của Euclid trong quyển sách Elements do Nhà xuất bản Green Lion Press ấn hành.
[4] Sir Thomas Little Heath (1861 – 1940): tác giả, nhà toán học Anh, cũng là nhà nghiên cứu lịch sử toán học cổ đại; bản dịch quyển Elements của ông được Green Lion Press ấn hành.
