Công thức Bernoulli: Tổng quan, ý nghĩa và ví dụ minh hoạ

Công thức Bernoulli là một trong những kiến thức quan trọng trong xác suất thống kê, nó giúp mang đến khả năng dự đoán kết quả của một chuỗi các phép thử độc lập ngẫu nhiên với độ chính xác cao. Bài viết này sẽ giúp bạn giải đáp toàn bộ những thắc mắc về công thức này, từ định nghĩa, điều kiện áp dụng cho tới cách sử dụng đến ứng dụng thực tế.

Giới thiệu chung về công thức Bernoulli

Bernoulli là công thức trong xác suất thống kê được đặt tên theo nhà toán học người Thụy Sĩ Jacob Bernoulli, công thức này mô tả xác suất của một biến cố A cụ thể xảy ra k lần trong n lần thử độc lập. Có 2 kết quả có thể xảy ra trong mỗi phép thử độc lập: thành công hoặc thất bại, đồng thời phải thỏa mãn hai điều kiện:

Kết quả hai mặt: Mỗi lần thử chỉ có hai kết quả có thể xảy ra, được gọi là thành công (ký hiệu là S) và thất bại (ký hiệu là F).
Tính độc lập: Kết quả của mỗi lần thử không ảnh hưởng đến kết quả của các lần thử sau.

công thức bernoulli — Công thức Bernoulli đóng vai trò quan trọng trong xác suất thống kê

Định nghĩa và công thức

Phép thử Bernoulli là phép thử trong xác suất thống kê, phép thử này cho ra 2 kết quả duy nhất: thành công hoặc thất bại. Khi phép thử này được lặp lại một cách độc lập n lần thì xác suất để biến cố A có thể xảy ra trong mỗi phép thử độc lập được gọi là p và xác suất biến cố A không xảy ra được gọi là q = 1 – p.

Công thức để tính xác suất biến cố A xảy ra trong n phép thử với k lần được tóm tắt như sau:

$$P(X=k)\;=\;C(n,k)\;\times\;p^k\;\times\;{(1\;-\;p)}^{n-k}$$

Trong đó:

n là số phép thử độc lập
k là số lần xuất hiện của phép thử
p là xác suất thành công
(1 – p) là xác xuất thất bại trong 1 lần thử

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ: Giả sử bạn tung một đồng xu 3 lần. Xác suất lấy được mặt ngửa 2 lần là bao nhiêu?

Giải:

Xác suất thành công (lấy mặt ngửa) trong một lần thử: p = 1/2.
Xác suất thất bại (lấy mặt sấp) trong một lần thử: q = 1 – p = 1/2.
Số lần thử: n = 3.
Số lần cần thành công: k = 2.

Áp dụng công thức Bernoulli:

$$P(X=2)=C(3,2)\times(\frac12)^2\times{(\frac12)}^1=3\times\frac14\times\frac12=\frac38$$

Vậy, xác suất lấy được mặt ngửa 2 lần khi tung đồng xu 3 lần là 3/8.

Lịch sử phát triển và nguyên tắc của phép thử Bernoulli

Jacob Bernoulli (1654 – 1705) một nhà toán học người Thụy Sĩ, được xem là cha đẻ của phép thử Bernoulli. Ông là một trong những người đầu tiên đặt nền móng cho lý thuyết xác suất hiện đại với vô vàn công trình nghiên cứu nổi tiếng của mình

Ông đã giới thiệu về định lý Bernoulli và công thức để tính xác suất của một biến cố cụ thể xảy ra trong một chuỗi các phép thử độc lập lần đầu tiên vào năm 1684 trong tác phẩm Ars Conjectandi (Nghệ thuật phỏng đoán). Công trình nghiên cứu này đã truyền cảm hứng cho nhiều nhà toán học khác tiếp tục nghiên cứu về xác suất, góp phần định hình nên lý thuyết xác suất hiện đại như ngày nay.

Nguyên tắc của phép thử Bernoulli:

Phép thử Bernoulli là một phép thử ngẫu nhiên thỏa mãn hai nguyên tắc sau:

Kết quả hai mặt: Mỗi lần thử chỉ có hai kết quả có thể xảy ra, được gọi là thành công (S) và thất bại (F).
Tính độc lập: Kết quả của mỗi lần thử không phụ thuộc vào kết quả của các lần thử trước đó.

Ứng dụng thực tế

Bernoulli công thức và ý nghĩa của nó đóng vai trò nền tảng trong lý thuyết xác suất và sở hữu vô số ứng dụng thực tiễn, đặc biệt trong các lĩnh vực như:

Thống kê: Phân tích dữ liệu thu thập từ các thí nghiệm ngẫu nhiên, giúp đưa ra kết luận chính xác về xu hướng và mối tương quan trong dữ liệu. Ví dụ như phân tích kết quả bầu cử, khảo sát ý kiến khách hàng, đánh giá hiệu quả chiến dịch quảng cáo.
Kinh doanh: Đánh giá khả năng thành công của các dự án đầu tư, dự đoán nhu cầu thị trường, tối ưu hóa chiến lược kinh doanh. Ví dụ như xác định tỷ lệ khách hàng tiềm năng chuyển đổi thành khách hàng mua hàng, dự đoán doanh thu bán hàng trong tương lai, đánh giá hiệu quả các chương trình khuyến mãi.
Khoa học máy tính: Phát triển các thuật toán học máy và trí tuệ nhân tạo, giúp máy tính học hỏi và đưa ra quyết định thông minh như hệ thống lọc thư rác, hệ thống phân loại ảnh, hệ thống đề xuất sản phẩm
Sinh học: Nghiên cứu các hiện tượng di truyền, biến đổi gen và các quá trình sinh học ngẫu nhiên như xác định tỷ lệ di truyền bệnh tật, dự đoán khả năng đột biến gen, mô phỏng sự tiến hóa của các loài.
Tài chính: Đánh giá rủi ro trong các khoản đầu tư, định giá các sản phẩm tài chính và quản lý danh mục đầu tư hiệu quả nhờ vào việc xác định tỷ lệ sinh lời của các khoản đầu tư, dự đoán biến động giá cả thị trường, đánh giá rủi ro tín dụng.

phép thử bernoulli — Phép thử Bernoulli có nhiều ứng dụng trong xác suất thống kê

Bài tập minh hoạ về công thức Bernoulli

Công thức Bernoulli rất hữu ích trong việc giải các bài toán xác suất có liên quan đến chuỗi các phép thử độc lập của biến cố A. Dưới đây là một số bài tập minh hoạ giúp bạn hiểu hơn về công thức này:

Bài toán 1:

Một hộp có 10 quả bóng được đánh số từ 1 đến 10. Lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng từ hộp. Xác suất để tổng số chấm trên 3 quả bóng đó là 12 là bao nhiêu?

Giải:

Bước 1: Xác định các biến cố:

S: Biến cố tổng số chấm trên 3 quả bóng là 12.
F: Biến cố tổng số chấm trên 3 quả bóng không bằng 12.

Bước 2: Xác định số lần thử và số lần cần thành công:

Số lần thử (n) là 3 (lấy 3 quả bóng từ hộp 10 quả).
Số lần cần thành công (k) là 1 (tổng số chấm trên 3 quả bóng cần bằng 12).

Bước 3: Xác định xác suất thành công (p):

Có 1 cách để lấy 3 quả bóng từ 10 quả với tổng số chấm là 12 (lấy 3 quả bóng có số chấm 4, 4, 4).

Có C(10, 3) = 120 cách để lấy 3 quả bóng bất kỳ từ 10 quả.

Vậy, xác suất thành công (p) là:

p = (Số cách lấy 3 quả bóng có tổng số chấm là 12) / (Số cách lấy 3 quả bóng bất kỳ) = 1 / 120

Bước 4: Áp dụng công thức Bernoulli:

$$P(S)=C(n,k)\times p^k\times{(1-p)}^{(n-k)}$$

$$=C(3,1)\times{(\frac1{120})}^k\times{(1-\frac1{120})}^{(2)}$$

$$=3\;\times\;(\frac1{120})\;\times{(\frac{119}{120})}^2$$

$$\approx\;0.0023$$

Vậy, xác suất để tổng số chấm trên 3 quả bóng lấy ngẫu nhiên từ hộp là 12 là khoảng 0.0023.

Bài toán 2:

Một người bắn súng 5 lần vào bia. Xác suất để người đó bắn trúng bia ít nhất 3 lần là bao nhiêu?

Giải:

Bước 1: Xác định các biến cố:

S: Biến cố người đó bắn trúng bia ít nhất 3 lần.
F: Biến cố người đó bắn trúng bia ít hơn 3 lần.

Bước 2: Xác định số lần thử và số lần cần thành công:

Số lần thử (n) là 5 (bắn 5 lần vào bia).
Số lần cần thành công (k) là 3 (bắn trúng bia ít nhất 3 lần).

Bước 3: Xác định xác suất thành công (p):

Xác suất thành công (p) là xác suất bắn trúng bia trong một lần bắn. Giả sử xác suất này là 0.4.

Bước 4: Áp dụng công thức Bernoulli:

$$P(S)=C(n,k)\times p^k\times{(1-p)}^{(n-k)}$$

$$=C(5,3)\times0.4^3\times(1-0.4)^2$$

$$=\;10\;\times\;0.064\;\times\;0.36$$

$$\approx\;0.2304$$

Vậy, xác suất để người đó bắn trúng bia ít nhất 3 lần là khoảng 0.2304.

Công thức Bernoulli có gì khác so với những công thức khác?

Phân phối Bernoulli là nền tảng cho nhiều công thức xác suất khác, bao gồm công thức nhị thức (Binomial), Poisson và Geometric. Mỗi công thức đều có những đặc điểm riêng phù hợp với các tình huống cụ thể.

Đặc điểm	Bernoulli	Nhị thức (Binomial)	Poisson	Geometric
Điều kiện	Phép thử hai kết quả (thành công/thất bại) – Các lần thử độc lập	Phép thử hai mặt (thành công/thất bại) – Các lần thử độc lập	Số lượng sự kiện xảy ra trong một khoảng thời gian/diện tích xác định – Các sự kiện xảy ra độc lập	Số lần thử cần thiết để đạt được thành công đầu tiên – Các lần thử độc lập
Công thức	$$P(X=k)\;=\;C(n,k)\;\times\;p^k\;\times\;{(1\;-\;p)}^{n-k}$$	$$P(X=k)=C(n,k)\;\times\;p^k\;\times\;{(1-p)}^{(n-k)}$$	$$P\;(X\;=\;k)\;=\;\frac{\lambda^k\;\times\;e^{-\lambda}\;}{k!}$$	$$P\;(X\;=\;k)\;=\;{(1\;-\;p)}^{k-1}\times p$$
Ứng dụng	Tính xác suất thành công k lần trong n lần thử – Phân tích kết quả bầu cử, khảo sát ý kiến	Tính xác suất k lần thành công trong n lần thử với p cố định – Phân tích số lượng cuộc gọi đến tổng đài trong một giờ	Tính xác suất k sự kiện xảy ra trong khoảng thời gian/diện tích nhất định – Phân tích số lượng khách hàng đến cửa hàng trong một ngày	Tính xác suất cần k lần thử để đạt thành công đầu tiên – Phân tích số lần tung đồng xu để được mặt ngửa đầu tiên

Lời kết

Công thức Bernoulli là một công cụ mạnh mẽ trong việc tính toán xác suất trong các thí nghiệm ngẫu nhiên. Việc hiểu rõ và áp dụng hiệu quả công thức này sẽ giúp bạn đưa ra những dự đoán chính xác và đưa ra quyết định sáng suốt trong nhiều lĩnh vực khác nhau.