Thể tích hình nón: Công thức và bài tập vận dụng

Thể tích hình nón là một bài học quan trọng trong chương trình toán lớp 12, đóng vai trò nền tảng cho nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Việc nắm vững kiến thức về thể tích khối nón sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả, chính xác.

Công thức tính thể tích hình nón

Khối nón là hình nón và phần không gian bên trong hình nón. Hình nón được tạo thành bởi một đường thẳng (gọi là đường sinh) quay quanh một trục cố định và một mặt phẳng hình tròn (gọi là mặt đáy). Đường thẳng nối từ đỉnh xuống đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy được gọi là chiều cao của khối nón.

Công thức thể tích khối nón được tính như sau:

$$V=\frac13.S.h$$

Trong đó:

• V là thể tích khối nón (đơn vị m3, cm3,…)
• S là diện tích mặt đáy (đơn vị m2, cm2,…)

Công thức thể tích khối nón tròn xoay

Khối nón tròn xoay là khối nón mà đỉnh của nó được nối vuông góc với tâm của mặt đáy. Thể tích (V) của khối nón tròn xoay được tính bằng công thức:

$$V=\frac13.\mathrm\pi.\mathrm r^2.h$$

Trong đó:

• V: Thể tích (đơn vị m3, cm3,…)
• π: Số pi (xấp xỉ 3.14159)
• r: Bán kính mặt đáy nón (đơn vị m, cm,…)
• h: Chiều cao của nón (đơn vị m, cm,…)

>> Xem thêm: Diện tích hình nón: Công thức và các mẹo giải bài tập nhanh

Công thức tính thể tích khối nón cụt

Khối nón cụt là khối nón được tạo thành bởi hai mặt phẳng song song cắt một khối nón tròn xoay. Hai mặt phẳng cắt này gọi là hai mặt đáy của nón cụt. Chiều cao của nón cụt là khoảng cách giữa hai mặt đáy. Đường sinh là đoạn thẳng nối một điểm trên mặt đáy này với một điểm trên mặt đáy kia.

Cách tính thể tích hình nón cụt được trình bày qua công thức:

$$V=\frac13.\mathrm\pi.h.(R^2+r^2+R.r)$$

Trong đó:

• V: Thể tích (đơn vị m3, cm3,…)
• π: Số pi (xấp xỉ 3.14159)
• h: Chiều cao của nón cụt (đơn vị m, cm,…)
• R: Bán kính mặt đáy lớn của nón cụt (đơn vị m, cm,…)
• r: Bán kính mặt đáy nhỏ của nón cụt (đơn vị m, cm,…)

Công thức tính thể tích khối nón xiên

Khối nón xiên là khối nón mà đỉnh của nó không được nối vuông góc với tâm của hình tròn đáy. Trục của hình nón xiên không trùng với đường vuông góc tâm hình tròn đáy.

Thể tích (V) của khối nón xiên được tính bằng công thức:

$$V=\frac13.\mathrm\pi.\mathrm r^2.h$$

Trong đó:

• V: Thể tích (đơn vị m3, cm3,…)
• π: Số pi (xấp xỉ 3.14159)
• r: Bán kính mặt đáy của nón xiên (đơn vị m, cm,…)
• h: Chiều cao của khối nón xiên (đơn vị m, cm,…)

>>> Bạn cũng cần phải biết: Chu vi hình nón: Công thức tính và bài tập vận dụng

Ứng dụng 

Tính thể tích khối nón được ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực xây dựng, sản xuất, khoa học kỹ thuật cũng như trong đời sống hàng ngày:

1. Trong xây dựng:

• Tính toán khối lượng vật liệu xây dựng: Khi xây dựng các công trình hình nón như mũ chóp nhà, cột tháp,… việc tính toán thể tích hình nón giúp xác định chính xác lượng vật liệu cần thiết như xi măng, cát, đá,… để thi công, đảm bảo chất lượng, tiết kiệm chi phí.
• Thiết kế kiến trúc: Thể tích khối nón được sử dụng để tính toán tải trọng chịu lực cho các kết cấu hình nón trong các công trình xây dựng nhằm đảm bảo an toàn và tính thẩm mỹ.

2. Trong sản xuất:

• Tính toán thể tích khoang chứa: Trong sản xuất các thiết bị hình nón như phễu, bình chứa,… việc tính toán thể tích khối nón giúp xác định dung tích tối đa của khoang chứa, phục vụ cho việc thiết kế, sản xuất và sử dụng.
• Ước lượng sản lượng nguyên liệu: Ví dụ, việc tính toán thể tích khối nón giúp ước lượng sản lượng kem tối đa thu được từ một mẻ nguyên liệu, từ đó lên kế hoạch sản xuất phù hợp.

3. Trong khoa học kỹ thuật:

• Tính toán lực đẩy của chất lỏng: Thể tích hình nón được sử dụng để tính toán lực đẩy Ác-si-mét lên các vật thể hình nón chìm trong chất lỏng, có ứng dụng trong thiết kế tàu thuyền, ngư cụ,…
• Thiết kế máy móc: Hình nón được sử dụng trong thiết kế một số chi tiết máy móc như ổ trục, bánh răng,… Việc tính toán thể tích khối nón giúp xác định độ bền, khả năng chịu lực của chi tiết máy, đảm bảo hoạt động an toàn, hiệu quả.

4. Trong đời sống:

• Tính toán thể tích thực phẩm: Ví dụ, việc tính toán thể tích khối nón giúp xác định lượng kem, sữa chua,… cần thiết để lấp đầy các que kem, hộp sữa chua có hình dạng nón.
• Thiết kế đồ dùng gia đình: Thể tích khối nón được sử dụng để thiết kế các đồ dùng gia đình có hình dạng nón như mũ nồi, chụp đèn,… 

>>> Xem thêm: Hình nón là gì? Định nghĩa, tính chất, công thức, bài tập liên quan

Ví dụ vận dụng công thức tính thể tích khối nón

Bài 1: Cho một khối nón có bán kính đáy là 3cm và chiều cao là 4cm. Tính thể tích của khối nón đó.

Giải:

Áp dụng công thức tính thể tích khối nón,  ta có:

$$V=\frac13.\mathrm\pi.r^2.h=\frac13.\mathrm\pi.3^2.4=12.\mathrm\pi\;(\mathrm{cm}^3)$$

Bài 2: Một hình nón có đường sinh bằng 5cm và diện tích đáy là 38cm2. Tính thể tích của hình nón đó.

Giải:

Từ công thức tính diện tích đáy hình nón:

$$\mathrm S=\mathrm\pi.\mathrm r^2$$

Ta có:

$$r^2=\frac S{\mathrm\pi}$$

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông tạo bởi đường sinh, đường cao và bán kính đáy, ta có:

$$h^2=l^2-r^2=52-\frac{38}{\mathrm\pi}$$

Tiếp theo, áp dụng công thức tính thể tích khối nón, ta có:

$$V=\frac13.\mathrm\pi.\mathrm r^2.\mathrm h=\frac13.\mathrm\pi.\frac{38}{\mathrm\pi}.\sqrt{5^2-\frac{38}{\mathrm\pi}}\approx41,67\;(\mathrm{cm}^3)$$

Bài viết đã trình bày công thức tính thể tích hình nón, phương pháp giải các bài toán liên quan và một số ứng dụng thực tế. Hy vọng với những kiến thức đã học được, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán về thể tích khối nón.