Trọng tâm tam giác là khái niệm hình học được sử dụng thường xuyên khi giải toán. Mỗi hình tg sẽ chỉ có 1 trọng tâm và có nhiều tính chất hình học đặc biệt. Nhờ xác định được trọng tâm, rất nhiều lĩnh vực trong thực tế có thể ứng dụng để tạo nên kết quả chính xác và nhanh chóng nhất.
Trọng tâm tam giác là gì?
Trọng tâm tam giác là giao điểm của 3 đường trung tuyến của một hình tg. Mà đường trung tuyến vẽ bằng cách nối từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi hình tg sẽ có 3 đường trung tuyến và chỉ có duy nhất 1 trọng tâm.
Xem thêm: Các công thức tính diện tích hình tam giác
Tính chất của trọng tâm tam giác
Trọng tâm tam giác thường
Trong một hình tg thường, điểm trọng tâm sẽ bao gồm tất cả các tính chất như sau:
- Điểm trọng tâm là giao điểm 3 đường trung tuyến của một tg.
- Khi nối đỉnh với trọng tâm và kéo dài đến cạnh hình tg, điểm cắt được xác định là trung điểm của cạnh đó.
- Đây là tâm đối xứng của tam giác.
- Là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác đó.
- Điểm này sẽ chia đoạn trung tuyến của hình tam giác thành 2 phần, trong đó đoạn từ đỉnh đến trọng tâm sẽ gấp 2 lần từ trọng tâm đến trung điểm.
- Với một số hình tg đặc biệt như vuông, cân, đều, trọng tâm còn có một số tính chất khác.
Trọng tâm trong tam giác vuông
- Trọng tâm trong một hình tg vuông là tâm đối xứng. Khi vẽ một đường thẳng từ trọng tâm đến góc vuông thì cạnh đối diện được chia thành hai phần bằng nhau.
- Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông góc với các cạnh tam giác tại 3 giao điểm của đường tròn với các cạnh đó
Trọng tâm tam giác cân
- Khoảng cách của trọng tâm đến 2 đỉnh của 2 góc bằng nhau trong một tg cân là bằng nhau.
- Đường trung tuyến đi qua trọng tâm từ đỉnh hình tg cân vừa là đường cao, chia hình đó thành 2 tg nhỏ bằng nhau.
- Đường trung tuyến từ đỉnh của tam giác cân vừa là đường cao và đường phân giác của góc đó.
Xem thêm: Hình tam giác cân là gì? Tính chất của tam giác cân
Trọng tâm tam giác đều
Tính chất trọng tâm tam giác đều như sau:
- Khoảng cách tính từ trọng tâm tới các đỉnh của một hình tg đều luôn bằng nhau.
- Trọng tâm là tâm của cả đường tròn nội và ngoại tiếp hình tg đều.
- Các đường trung tuyến của tam giác cân bằng nhau, vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của các góc tương ứng.
Các bước xác định trọng tâm tam giác
Để xác định trọng tâm, bạn cần thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Vẽ một hình tam giác với số đo bất kỳ XYZ.
- Bước 2: Xác định trung điểm của 2 cạnh tam giác, sau đó vẽ 2 đường trung tuyến.
- Bước 3: Xác định điểm giao nhau của 2 đường trung tuyến đã vẽ. Đây chính là trọng tâm của hình XYZ.
Công thức tính tọa độ trọng tâm tam giác trên mặt phẳng Oxy
Ngoài xác định điểm trọng tâm qua hình học, ta còn có công thức tính trọng tâm tam giác trên hệ mặt phẳng Oxy. Vị trí điểm này sẽ được xác định như sau:
Gọi hình tg cần xác định trọng tâm là ABC, trong đó toạ độ của các điểm sẽ lần lượt là (xA,yA), (xB,yB), (xC,yC)
Xác định điểm I là điểm trọng tâm, toạ độ điểm I là (xI,yI)
Khi đó xI = (xA + xB + xC)/3
yI = (yA + yB + yC)/3
Xem thêm: Những cách tính chu vi hình tam giác
Ví dụ minh họa cách tính tọa độ trọng tâm
Đề bài: Cho tam giác ABC với đường trung tuyến là AD có chiều dài 9cm. Hãy xác định trọng tâm I của hình tg ABC và chiều dài của đoạn AI.
Lời giải:
Xác định điểm E là trung điểm của đoạn AC, ta có BE cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. AD giao AE tại I, khi đó điểm I sẽ là trọng tâm của ABC.
Theo tính chất của trọng tâm hình tg, ta có chiều dài của đường trung tuyến sẽ bằng 3/2 chiều dài từ đỉnh đến trọng tâm. Do đó AI = ⅔ AD = ⅔ x 9 = 6cm.
Xem thêm: Dạng bài toán chứng minh hai tam giác bằng nhau
Ứng dụng của trọng tâm trong thực tế
Trên thực tế, có rất nhiều lĩnh vực áp dụng công thức tính trọng tâm và tạo ra những sản phẩm chất lượng. Cụ thể như sau:
- Trong ngành xây dựng: Những thiết kế cần sự cân bằng trong công trình như cầu, nhà ở,… đều được áp dụng trọng tâm để tính toán điểm đặt lực, phân bố trọng lượng hợp lý.
- Trong ngành vật lý: Có rất nhiều định luật về bảo toàn trong lĩnh vực vật lý. Một trong những điểm quan trọng khi sử dụng được định luật này là xác định điểm đặt lực nhờ vào trọng tâm.
- Trong nghệ thuật và thiết kế: Trọng tâm là điểm cân bằng và nằm giữa các đỉnh của hình tg. Do đó trong hội hoạ, thiết kế, dựa vào nguyên tắc trọng tâm sẽ cho ra những tác phẩm hài hoà, cân đối.
Trên đây là những thông tin chi tiết về trọng tâm tam giác và những tính chất, ứng dụng trên thực tế. Kiến thức hữu ích để vận dụng những kiến thức này hợp lý nhất trong các bài tập toán học và bài thi.
