Diện tích hình chóp đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các thông số hình học khác của khối chóp, từ đó phục vụ cho việc giải toán và ứng dụng thực tế. Bởi hình chóp là một dạng khối đa diện quen thuộc trong toán học, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như kiến trúc, kỹ thuật, thiết kế,… Cùng Hocthenao.vn tìm hiểu về các công thức tính diện tích cơ bản và bài tập minh hoạ có lời giải về hình chóp.
Các công thức tính diện tích hình chóp
Hình chóp là khối đa diện được tạo bởi n mặt phẳng, trong đó có một mặt phẳng gọi là đáy và n – 1 mặt phẳng còn lại gọi là các mặt bên, giao nhau tại một điểm duy nhất gọi là đỉnh.
Diện tích hình chóp là tổng diện tích của các mặt phẳng tạo nên hình chóp, bao gồm 2 loại chính: diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.
Diện tích xung quanh hình chóp
Diện tích xung quanh hình chóp (Sxq) là tổng diện tích của tất cả các mặt bên của hình chóp (trừ mặt đáy).
Công thức chung:
$$ S_{xq}=\frac12\times p\times d $$
Trong đó:
- p: Chu vi đáy của hình chóp
- d: Trung đoạn của hình chóp (đoạn thẳng nối đỉnh với tâm đáy)
Đối với hình chóp đều, công thức tính S xung quanh của nó có dạng như sau:
$$ S_{xq}=p\times d $$
Trong đó:
- Chu vi đáy (p): Là tổng độ dài các cạnh của đáy hình chóp.
- Trung đoạn (d): Là đoạn thẳng nối đỉnh hình chóp với tâm đáy hình chóp. Tâm đáy là giao điểm của các đường trung tuyến của đáy.
Ví dụ:
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy a = 5cm, chiều cao h = 8cm. Tính diện tích xung quanh (Sxq) của hình.
Giải:
- Chu vi đáy: p = 4a = 4 * 5 = 20cm
- Trung đoạn: d = h = 8cm
Diện tích xung quanh:
Sxq = ½ * p * d = ½ * 20 * 8 = 80cm²
Diện tích toàn phần của hình chóp
Diện tích toàn phần của hình chóp (Stp) là tổng diện tích xung quanh (Sxq) và diện tích đáy (Sđ) của hình chóp. Công thức tính như sau:
$$ S_{tp}=S_{xq}+S_đ $$
Trong đó:
- Sxq: Diện tích xung quanh của hình chóp
- Sđ: Là diện tích của mặt phẳng đáy của hình chóp. Diện tích đáy phụ thuộc vào hình dạng của đáy (hình vuông, tam giác, ngũ giác…). Có thể sử dụng các công thức tính diện tích của các đa giác để tính diện tích đáy.
Ví dụ:
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy a = 5cm, chiều cao h = 8cm. Tính diện tích toàn phần (Stp) của hình chóp.
Giải:
- Tính diện tích xung quanh (Sxq):
- Chu vi đáy: p = 4a = 4 * 5 = 20cm
- Trung đoạn: d = h = 8cm
- Sxq = ½ * p * d = ½ * 20 * 8 = 80cm²
- Tính diện tích đáy (Sđ):
- Sđ = a² = 5² = 25cm²
- Tính diện tích toàn phần (Stp):
- Stp = Sxq + Sđ = 80 + 25 = 105cm²
Ví dụ minh hoạ
Dưới đây là một vài ví dụ minh hoạ về cách tính Sxq hình chóp, Stp hình chóp mà bạn có thể tham khảo:
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy a = 5cm, chiều cao h = 8cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối chóp.
Giải:
- Chu vi đáy: p = 4a = 4 * 5 = 20cm
- Trung đoạn: d = h = 8cm
Diện tích xung quanh:
- Sxq = ½ * p * d = ½ * 20 * 8 = 80cm²
Diện tích đáy:
- Sđ = a² = 5² = 25cm²
Diện tích toàn phần:
- Stp = Sxq + Sđ = 80 + 25 = 105cm²
Ví dụ 2: Cho hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn a1 = 8cm, cạnh đáy nhỏ a2 = 4cm, chiều cao h = 6cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình chóp cụt.
Giải:
- Chu vi đáy lớn: p1 = 4a1 = 4 * 8 = 32cm
- Chu vi đáy nhỏ: p2 = 4a2 = 4 * 4 = 16cm
- Trung đoạn: d = h = 6cm
Diện tích xung quanh:
- Sxq = ½ * (p1 + p2) * d = ½ * (32 + 16) * 6 = 144cm²
Diện tích đáy lớn:
- Sđ1 = a1² = 8² = 64cm²
Diện tích đáy nhỏ:
- Sđ2 = a2² = 4² = 16cm²
Diện tích toàn phần:
- Stp = Sxq + Sđ1 + Sđ2 = 144 + 64 + 16 = 224cm²
Cách áp dụng các công thức tính diện tích
Công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình chóp giúp bạn giải các bài toán liên quan như:
- Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao h. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần.
- Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy a, chiều cao h. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần.
- Một hình chóp xiên có đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông a, b và cạnh huyền c. Chiều cao của hình chóp là h. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần.
Lưu ý:
- Cần xác định loại hình chóp mà đề bài đã cho là gì và các yếu tố hình học cần thiết để tính toán.
- Áp dụng công thức tính diện tích phù hợp (Sxq, Stp).
- Cần chú ý đến đơn vị đo lường và kiểm tra kết quả đã chính xác hay chưa.
Công thức tính Sxq, Stp của các dạng hình chóp đặc biệt
Ngoài những kiến thức cơ bản về diện tích khối chóp, chúng tôi còn cung cấp cho bạn cách tính Sxq, Stp đối với 2 dạng hình chóp đặc biệt: hình chóp cụt và hình chóp nón.
Diện tích hình chóp cụt
Hình chóp cụt là hình chóp được tạo bởi hai mặt phẳng song song cắt bỏ phần đỉnh của một hình chóp. Diện tích của hình chóp cụt được tính bằng tổng diện tích của hai mặt đáy và diện tích xung quanh.
Công thức tính S xung quanh của hình chóp cụt:
$$ S_{xq}=\frac12\times(p_1+p_2)\times d $$
Trong đó:
- p1: Chu vi đáy lớn
- p2: Chu vi đáy nhỏ
- d: Trung đoạn của hình chóp cụt (đoạn thẳng nối tâm hai đáy)
Công thức tính S toàn phần của hình chóp cụt:
$$ S_{tp}=S_{xq}+S_{đ1}+S_{đ2} $$
Trong đó:
- Sđ1: Diện tích đáy lớn
- Sđ2: Diện tích đáy nhỏ
Diện tích hình chóp nón
Hình chóp nón là hình chóp có đáy là đường tròn và đỉnh nằm trên trục vuông góc với mặt đáy. Diện tích hình chóp nón được tính bằng tổng diện tích đáy và diện tích xung quanh.
Công thức tính S xung quanh của hình chóp nón:
$$ S_{xq}=\pi rl $$
Trong đó:
- r: Bán kính đáy
- l: Đoạn thẳng nối đỉnh với tâm đáy (đường cao của hình chóp nón)
Công thức tính S toàn phần của hình chóp nón:
$$ S_{tp}=S_{xq}+S_đ $$
Trong đó:
- Sđ: Diện tích đáy
- Sđ = πr²
Ứng dụng thực tế của diện tích hình chóp
Các công thức tính S toàn phần hình chóp, S xung quanh hình chóp được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như:
- Kiến trúc: Tính toán diện tích mái nhà, mái vòm, các cấu trúc hình chóp trong cá công trình xây dựng.
- Kỹ thuật: Thiết kế các bộ phận trong động cơ, máy móc, thiết bị.
- Thiết kế: Tính toán diện tích bao bì sản phẩm, các vật thể hình chóp trong thiết kế sản phẩm.
- Hóa học: Tính toán diện tích bề mặt của các chất rắn dạng hạt, dạng bột.
- Địa chất: Tính toán diện tích bề mặt của các ngọn núi, đồi núi.
Bài tập có lời giải về tính diện tích hình chóp
Dưới đây là phần tổng hợp một số bài tập có lời giải về tính S xung quanh, S toàn phần của hình chóp giúp bạn nắm được cách giải các bài tập trong phần này:
Bài tập 1
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy a = 5cm, chiều cao h = 8cm. Tính S xung quanh (Sxq) và S toàn phần (Stp) của hình chóp.
Giải:
Tính diện tích xung quanh (Sxq):
- Chu vi đáy: p = 4a = 4 * 5 = 20cm
- Trung đoạn: d = h = 8cm
- Sxq = ½ * p * d = ½ * 20 * 8 = 80cm²
Tính diện tích đáy (Sđ):
- Sđ = a² = 5² = 25cm²
Tính diện tích toàn phần (Stp):
- Stp = Sxq + Sđ = 80 + 25 = 105cm²
Bài tập 2
Cho hình chóp tam giác vuông có hai cạnh đáy vuông góc a = 6cm, b = 8cm và cạnh huyền c = 10cm. Chiều cao của hình chóp là h = 12cm. Tính S xung quanh (Sxq) và S toàn phần (Stp) của hình chóp.
Giải:
Tính diện tích xung quanh (Sxq):
- Chu vi đáy: p = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24cm
- Diện tích mặt bên vuông góc với cạnh đáy a:
- S1 = ½ * a * h = ½ * 6 * 12 = 36cm²
Diện tích mặt bên vuông góc với cạnh đáy b:
- S2 = ½ * b * h = ½ * 8 * 12 = 48cm²
- Sxq = S1 + S2 = 36 + 48 = 84cm²
Tính diện tích đáy (Sđ):
- Sđ = ½ * a * b = ½ * 6 * 8 = 24cm²
Tính diện tích toàn phần (Stp):
- Stp = Sxq + Sđ = 84 + 24 = 108cm²
Bài tập 3
Cho hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn a1 = 8cm, cạnh đáy nhỏ a2 = 4cm, chiều cao h = 6cm. Tính diện tích xung quanh (Sxq) và diện tích toàn phần (Stp) của hình chóp cụt.
Giải:
Tính chu vi đáy lớn (p1) và chu vi đáy nhỏ (p2):
- p1 = 4a1 = 4 * 8 = 32cm
- p2 = 4a2 = 4 * 4 = 16cm
Tính diện tích xung quanh (Sxq):
- Sxq = ½ * (p1 + p2) * d = ½ * (32 + 16) * 6 = 144cm²
Tính diện tích đáy lớn (Sđ1) và diện tích đáy nhỏ (Sđ2):
- Sđ1 = a1² = 8² = 64cm²
- Sđ2 = a2² = 4² = 16cm²
Tính diện tích toàn phần (Stp):
- Stp = Sxq + Sđ1 + Sđ2 = 144 + 64 + 16 = 224cm²
Lời kết
Bài viết trên đây của chúng tôi đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về diện tích hình chóp, các công thức tính toán và các bí quyết giải bài tập cụ thể. Hy vọng những thông tin này sẽ giúp bạn học tập và làm bài hiệu quả hơn.
