Trong bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ chia sẻ đến bạn công thức chính xác để tính diện tích hình nón, các mẹo tính nhanh diện tích hình nón trong các trường hợp đặc biệt và các bài toán thường gặp nhất xoay quanh diện tích khối nón.
Hình nón là hình gì?
Hình nón là hình được tạo thành bởi việc quay một đường sinh quanh một trục cố định. Nó được cấu tạo bởi:
- Đỉnh: Là điểm nhọn nhất nằm trên cao của hình nón.
- Đáy: Là mặt phẳng hình tròn nằm phía dưới của hình nón.
- Chiều cao: Là đường thẳng vuông góc nối đỉnh và đáy của hình nón. Giao nhau tại tâm điểm của mặt đáy.
- Đường sinh: Là đường cong quay quanh trục cố định, bao quanh thành hình nón và luôn đi qua mặt phẳng đáy.
- Góc sinh: Góc giữa mặt phẳng đáy và đường cao.
Công thức tính diện tích hình nón
Diện tích khối nón toàn phần = Diện tích xung quanh hình nón + Diện tích đáy của hình nón, hay:
$$S_{tp}=S_{xq}+S_đ$$
Trong đó:
- Diện tích xung quanh hình nón là phần diện tích được tạo bởi việc quay đường sinh quanh trục.
- Diện tích đáy khối nón là một hình tròn.
Diện tích xung quanh của hình nón được tính như sau:
$$S_{xq}=\mathrm\pi.\mathrm r.\mathrm l$$
Trong đó:
- r là bán kính đáy của hình nón.
- l là đường sinh của hình nón.
Diện tích đáy hình nón được tính như sau:
$$S_đ=\mathrm\pi.\mathrm r^2$$
Suy ra công thức tính diện tích toàn phần của hình nón:
$$S_{tp}=S_{xq}+S_đ=\mathrm\pi.\mathrm r.\mathrm l+\mathrm\pi.\mathrm r^2=\mathrm\pi.\mathrm r.(\mathrm r+\mathrm l)$$
Chú ý: Áp dụng định lý Py-ta-go ta có công thức tính đường sinh l = r2+ h2. Bạn cố thể linh hoạt áp dụng công thức này để tính diện tích khối nón.
>>> Xem thêm: Chu vi hình nón: Công thức tính và bài tập vận dụng
Ứng dụng của công thức tính diện tích hình nón trong thực tế
Hình nón có rất nhiều ứng dụng trong thực tế như:
- Tính diện tích hình nón của các vật thể hình nón như khối bê tông đúc, hòn đá, …
- Xây dựng: Tính diện tích mái nón, đáy nón, … để ra được khối lượng vật liệu cần thiết.
- Thiết kế: Việc tính diện tích hình nón giúp các kiến trúc sư, nhà thiết kế điều chỉnh sản phẩm cho phù hợp.
- Giáo dục: Diện tích khối nón là một trong các phần kiến thức quan trọng, việc hiểu và vận dụng được kiến thức này giúp bạn giải quyết các bài toán hình học không gian khó hơn.
Chính vì vậy, việc nắm được công thức tính diện tích hình nón sẽ giúp bạn tính toán phù hợp để giải quyết các vấn đề trong cuộc sống.
>>> Xem thêm: Hình nón là gì? Định nghĩa, tính chất, công thức, bài tập liên quan
Ví dụ vận dụng công thức tính diện tích 1 khối nón
Đề thi THPT quốc gia luôn có các bài toán cần sử dụng công thức tính diện tích khối nón. Dưới đây là một số dạng bài liên quan đến diện tích hình nón mà bạn có thể tham khảo và luyện tập để củng cố kiến thức.
Ví dụ 1
Bài toán: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón có đường sinh 5cm và bán kính đáy 10cm.
Bài giải
Áp dụng công thức, ta có diện tích xung quanh hình nón là:
$$S_{xq}=\mathrm\pi.\mathrm r.\mathrm l$$
$$S_{xq}=\mathrm\pi.\mathrm 10.\mathrm 5$$
$$S_{xq}=50.\mathrm\pi\;(\mathrm{cm}^2)$$
Vậy diện tích xung quanh hình nón là 50π cm2
Áp dụng công thức, ta có diện tích toàn phần hình nón là:
$$S_{tp}=\mathrm\pi.\mathrm r.(\mathrm r+\mathrm l)$$
$$S_{tp}=\mathrm\pi.\mathrm 10.(\mathrm 10+\mathrm 5)$$
$$S_{tp}=150.\mathrm\pi\;(\mathrm{cm}^2)$$
Vậy diện tích toàn phần của hình nón là 150π (cm2)
Ví dụ 2
Bài toán: Cho hình nón có bán kính là r = 3a (cm), chiều cao h = 4a (cm). Tính đường sinh, diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối nón.
Bài giải
Áp dụng công thức, đường sinh của hình nón là:
$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{{(3a)}^2+{(4a)}^2}=5a$$
Áp dụng công thức, ta lần lượt tính được diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối nón:
$$S_{xq}=\mathrm\pi.\mathrm r.\mathrm l$$
$$S_{xq}=\mathrm\pi.\mathrm 3a.\mathrm 5a$$
$$S_{xq}=15.\mathrm\pi.\mathrm a^2\;(\mathrm{cm}^2)$$
Diện tích toán phần là:
$$S_{tp}=\mathrm\pi.\mathrm r.(\mathrm r+\mathrm l)$$
$$S_{tp}=\mathrm\pi.\mathrm 3a.(\mathrm 3a+\mathrm 5a)$$
$$S_{xq}=24.\mathrm\pi.\mathrm a^2\;(\mathrm{cm}^2)$$
Ví dụ 3
Bài toàn: Cho hình nón có bán kính r, bán kính và đường sinh tạo thành một góc 60 độ. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
Bài giải
Trong tam giác SOA vuông tại O có: $$l=r.cos\overbrace{SAO}=r.cos(60^0)=r.\frac12=\frac r2$$
Áp dụng công thức, ta có diện tích xung quanh và diện tích toàn phần khối nón là:
$$S_{xq}=\mathrm\pi.\mathrm r.\mathrm l=\mathrm\pi.\mathrm r.2\mathrm r=2.\mathrm\pi.\mathrm r^2\;$$
$$S_{tp}=\mathrm\pi.\mathrm r.(\mathrm r+\mathrm l)=\mathrm\pi.\mathrm r.(\mathrm r+2\mathrm r)=3.\mathrm\pi.\mathrm r^2\;$$
>>> Xem thêm: Thể tích khối nón: Công thức và bài tập vận dụng
Ví dụ 4
Cắt một hình nón bởi một mặt phẳng qua trục ta được một tam giác đều có cạnh là 2a. Tính diện tích toàn phần của hình nón đó.
Bài giải
Công thức tính nhanh diện tích tam giác đều cạnh x là
$$S=\frac{\sqrt3}4.x^2$$
Chiều cao tam giác đều là:
$$h=\frac{\sqrt3}2.x$$
Áp dụng với bài toàn này ta có:
$$h=\frac{\sqrt3}2.(2a)=a.\sqrt3$$
Suy ra: l = 2a, r = a.
Áp dụng công thức ta có: Diện tích toàn phần hình nón là
$$S_{tp}=\mathrm\pi.\mathrm r.(\mathrm r+\mathrm l)=\mathrm\pi.\mathrm a.(\mathrm a+2\mathrm a)=3.\mathrm\pi.\mathrm r^2\;$$
Ví dụ 5
Bài toán: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên và đáy bằng 60 độ. Tính diện tích xung quanh của hình nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài giải
Dựng đường cao SO, từ O kẻ OI vuông góc với BC, ta có:
OI vuông góc với BC, SI vuông góc với BC (SBC là tam giác đều, SI là đương trung tuyến đồng thời là đường cao)
Suy ra $$\overbrace{SIO}=60^0\;(1)$$
Tam giác ABC đều có cạnh đáy bằng a thì chiều cao a32
$$OB=OC=OA=\frac23.a.\frac{\sqrt3}2=a.\frac{\sqrt3}3$$
$$OI=\frac13.a.\frac{\sqrt3}2=a.\frac{\sqrt3}6\;(2)$$
Từ (1) và (2), Suy ra SO = a12
$$SA=SB=SC=\sqrt{oc^2+SO^2}=\sqrt{{(a.\frac{\sqrt3}3)}^2+{(a.\frac12)}^2}=a.\frac{\sqrt{21}}6$$
Hình nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì có đường sinh là
$$\mathrm{SB}=\mathrm{SA}=\mathrm{SC}=\mathrm a.\frac{\sqrt{21}}6$$
Diện tích xung quanh là:
$$\mathrm\pi.\mathrm r.\mathrm l=\mathrm\pi.\mathrm{SO}.\mathrm{SC}=\mathrm\pi.\mathrm a.\frac{\sqrt3}3.\mathrm a.\frac{\sqrt{21}}6=\frac{\sqrt7}6.\mathrm\pi.\mathrm a^2$$
Như vậy trên đây là chia sẻ của chúng tôi về công thức tính diện tích hình nón cùng các bài toán liên quan. Ôn kĩ lý thuyết và thực hành làm bài tập mỗi ngày để nắm rõ kiến thức quan trọng này nhé!
