Hình elip là gì? Khái niệm, tính chất, ứng dụng thực tiễn

Hình elip là gì? Đây là một trong những kiến thức cơ bản nhất trong chương trình giáo dục THPT. Tuy nhiên, hình học này đóng vai trò vô cùng quan trọng với nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật hay đời sống hằng ngày. Bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ cung cấp cho bạn đầy đủ thông tin về nội dung này.

Hình elip là gì?

Hình elip là một đường cong kín được tạo ra từ tập hợp tất cả các điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1 và F2 luôn bằng nhau. Hai điểm F1 và F2 được gọi là các tiêu điểm của elip.

Hình oval có hai trục đối xứng: trục chính (dài hơn) và trục phụ (ngắn hơn), cắt nhau tại tâm của elip. Độ dẹt của elip được xác định bởi độ lệch tâm, một giá trị từ 0 (hình tròn) đến gần 1 (elip rất dẹt).

Elip là một dạng đường cong đặc biệt, thường được sử dụng để mô tả các quỹ đạo của các hành tinh, các dao động của con lắc lò xo, hay hình dạng của một số vật thể trong tự nhiên như quả trứng, quả bóng bầu dục,…

Tính chất của hình elip

Những tính chất đặc trưng dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn hình elip là gì.

Có hai tiêu điểm

Đường cong eliptic có hai tiêu điểm, thường được ký hiệu là F1 và F2. Đặc điểm quan trọng nhất của elip là tổng khoảng cách từ bất kỳ điểm nào trên đường oval đến hai tiêu điểm này luôn không đổi.

Tính chất này được sử dụng trong định nghĩa hình học của elip và có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như trong thiết kế phòng thì thầm.

Có hai trục đối xứng

Hình bầu dục có hai trục đối xứng: trục chính và trục phụ. Trục chính là đường thẳng đi qua hai tiêu điểm và là trục dài nhất của elip. Trục phụ vuông góc với trục chính tại tâm của elip và là trục ngắn nhất. Hai trục này chia hình bầu dục thành bốn phần đối xứng, tạo nên tính đối xứng của hình.

Độ lệch tâm xác định hình dạng

Độ dẹt của elip được xác định bởi độ lệch tâm, một giá trị từ 0 đến 1. Khi độ lệch tâm bằng 0, hình oval trở thành hình tròn. Khi độ lệch tâm tiến gần đến 1, elip trở nên dẹt hơn. Độ lệch tâm có thể được tính toán từ tỷ lệ giữa khoảng cách giữa tiêu điểm và độ dài trục chính.

Tính chất phản xạ

Hình oval có tính chất phản xạ đặc biệt. Nếu một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm, nó sẽ phản xạ từ bề mặt elip và đi qua tiêu điểm còn lại. Tính chất này được ứng dụng trong thiết kế gương và ăng-ten parabol.

Mọi mặt cắt ngang của một hình nón tròn xuyên qua không song song với trục của nó và không đi qua đỉnh sẽ tạo ra một hình bầu dục. Đây là lý do tại sao elip được coi là một trong các đường conic, cùng với parabol và hyperbol.

Các công thức liên quan của hình elip

Giống như các hình học khác, hình elip cũng có những công thức quan trọng liên quan được trình bày như sau:

• Phương trình tiêu chuẩn của elip: (x²/a²) + (y²/b²) = 1. Trong đó a là bán trục chính, b là bán trục phụ. Công thức này mô tả mối quan hệ giữa các điểm trên elip với tâm elip (được đặt tại gốc tọa độ).
• Độ lệch tâm: e = √(1 – b²/a²). Độ lệch tâm đo lường mức độ “dẹt” của elip. Giá trị e nằm trong khoảng từ 0 (hình tròn) đến gần 1 (elip rất dẹt).
• Diện tích elip: A = πab. Công thức này tương tự như diện tích hình tròn, nhưng thay vì bình phương bán kính, ta nhân hai bán trục với nhau.
• Chu vi elip (xấp xỉ): P ≈ 2π√((a² + b²)/2). Đây là công thức Ramanujan, cho kết quả xấp xỉ khá chính xác cho chu vi elip.
• Tọa độ tiêu điểm: F1 = (-c, 0) và F2 = (c, 0), với c = √(a² – b²). Tiêu điểm nằm trên trục chính, cách đều tâm elip.
• Phương trình tham số: x = a cos(t), y = b sin(t), với 0 ≤ t < 2π. Công thức này cho phép biểu diễn các điểm trên elip thông qua một tham số t.
• Công thức tổng khoảng cách: PF1 + PF2 = 2a. Với P là bất kỳ điểm nào trên elip, tổng khoảng cách từ P đến hai tiêu điểm luôn bằng 2a (hai lần bán trục chính).

Các công thức tính diện tích hình elip

Có rất nhiều cách để tính diện tích hình elip có thể kể đến như:

Công thức cơ bản

S = πab

Đây là công thức phổ biến nhất và dễ sử dụng nhất. Trong đó:

• a là độ dài của nửa trục lớn (khoảng cách từ tâm đến điểm xa nhất trên elip theo chiều dài)
• b là độ dài của nửa trục nhỏ (khoảng cách từ tâm đến điểm xa nhất trên elip theo chiều rộng)
• π (pi) là hằng số toán học, xấp xỉ 3.14159

Công thức này xuất phát từ việc xem elip như một biến thể của hình tròn. Nếu a = b, elip trở thành hình tròn và công thức trở thành S = πr², với r là bán kính.

Công thức sử dụng độ lệch tâm

Công thức này liên quan đến độ lệch tâm e của elip: 

S = πa²√(1 – e²)

• a vẫn là độ dài của nửa trục lớn
• e là độ lệch tâm, một số từ 0 đến 1 đo lường mức độ “dẹt” của elip
• √ là ký hiệu của phép tính căn bậc hai

Độ lệch tâm e được định nghĩa là e = √(1 – b²/a²). Khi e = 0, elip trở thành hình tròn. Khi e tiến gần đến 1, elip trở nên dẹt hơn.

Công thức tham số

Đây là công thức tổng quát sử dụng tích phân:

S = ∫₀²ᵖ (x’²+y’²)½ dt

• x'(t) và y'(t) là các đạo hàm của phương trình elip
• t là tham số, chạy từ 0 đến 2π

Công thức này dựa trên nguyên lý của tích phân đường cong và cho phép tính diện tích của các elip phức tạp hơn, đặc biệt là khi elip được biểu diễn dưới dạng phương trình tham số.

Công thức xấp xỉ

Đây là công thức ước lượng:

S ≈ π(a+b)²/4

• Nó cung cấp một giá trị gần đúng cho diện tích elip
• Công thức này dễ tính toán hơn so với công thức chính xác
• Sai số của công thức này tăng khi elip càng dẹt (a và b chênh lệch nhiều)

Công thức này hữu ích trong các tình huống cần ước tính nhanh hoặc khi độ chính xác tuyệt đối không cần thiết. Mỗi công thức có ưu điểm và nhược điểm riêng, và việc chọn công thức nào phụ thuộc vào thông tin có sẵn về elip và độ chính xác yêu cầu của bài toán.

Cách tính thể tích hình elip

Thực chất không có nhiều cách để tính thể tích hình elip, bởi đây là một nội dung  toán học khác phức tạp. Tuy nhiên, chúng tôi có tìm được 2 cách được trình bày như sau:

Công thức sử dụng bán trục

Công thức sử dụng bán trục: V = (4/3) * π * a * b * c

Trong đó:

• a, b, c là độ dài của ba bán trục của hình elip

Công thức này tương tự như công thức tính thể tích hình cầu, nhưng thay vì sử dụng bán kính r³, chúng ta nhân ba bán trục lại với nhau. Điều này cho phép tính thể tích của hình elip có kích thước khác nhau theo mỗi chiều.

Công thức sử dụng diện tích mặt cắt ngang lớn nhất

Công thức sử dụng diện tích mặt cắt ngang lớn nhất: V = (4/3) * A * c

Trong đó:

• A là diện tích mặt cắt ngang elip lớn nhất
• c là độ dài của bán trục vuông góc với mặt cắt đó

Công thức này hữu ích khi chúng ta biết diện tích của mặt cắt ngang lớn nhất. Nó đơn giản hóa việc tính toán bằng cách kết hợp hai bán trục vào diện tích A.

Công thức tính chu vi hình elip

Khác với hình tròn, cách tính chu vi của hình elip không thể biểu diễn bằng một công thức đơn giản chỉ với các hàm cơ bản. Thay vào đó, nó đòi hỏi các phương pháp tính toán phức tạp hơn có thể kể đến:

Công thức tích phân elliptic

Công thức tích phân elliptic: P = 4a∫₀ᵖ/² √(1 – e²sin²θ) dθ

Trong đó:

• P: Chu vi của elip
• a: Nửa trục lớn
• e: Độ lệch tâm
• θ: Biến góc, chạy từ 0 đến π/2
• ∫₀ᵖ/²: Tích phân từ 0 đến π/2

Đây là công thức chính xác nhất, dựa trên định nghĩa cơ bản của chu vi như tổng độ dài của các phần tử vô cùng nhỏ dọc theo đường biên elip. Tuy nhiên, tích phân này không có nghiệm giải tích dưới dạng các hàm sơ cấp.

Trong thực tế, nó thường được tính bằng các phương pháp số học như phương pháp Simpson hoặc Gauss-Legendre. Độ chính xác của kết quả phụ thuộc vào số lượng điểm chia trong quá trình tính tích phân số.

Công thức chuỗi vô hạn

Công thức chuỗi vô hạn: P = 2πa(1 – (1/4)e² – (3/64)e⁴ – (5/256)e⁶ – …)

Trong đó:

• P: Chu vi của elip
• π: Hằng số pi
• a: Nửa trục lớn
• e: Độ lệch tâm
• e², e⁴, e⁶: Các lũy thừa của e
• 1/4, 3/64, 5/256: Hệ số của các số hạng trong chuỗi

Công thức này là kết quả của việc khai triển tích phân elliptic thành chuỗi Taylor. Ưu điểm của nó là có thể đạt được độ chính xác cao bằng cách thêm nhiều số hạng. Tuy nhiên, khi độ lệch tâm e lớn (elip rất dẹt), chuỗi hội tụ chậm và cần nhiều số hạng hơn để đạt độ chính xác cao.

Công thức xấp xỉ Ramanujan

Công thức xấp xỉ Ramanujan: P ≈ π(a + b)(1 + (3h)/(10 + √(4 – 3h))), với h = (a – b)²/(a + b)²

Trong đó:

• P: Chu vi của elip
• π: Hằng số pi
• a: Nửa trục lớn
• b: Nửa trục nhỏ
• h: Tham số đo sự khác biệt giữa a và b
• √: Dấu căn bậc hai

Đây là một trong những công thức xấp xỉ nổi tiếng nhất, được nhà toán học Srinivasa Ramanujan đưa ra. Nó cung cấp một cân bằng tuyệt vời giữa độ chính xác và sự đơn giản trong tính toán.

Công thức này có sai số tối đa chỉ khoảng 0.04% cho mọi hình elip, làm cho nó trở thành lựa chọn phổ biến trong nhiều ứng dụng kỹ thuật và khoa học.

Công thức xấp xỉ đơn giản

Công thức xấp xỉ đơn giản: P ≈ 2π√((a² + b²)/2)

Trong đó:

• P: Chu vi của elip
• π: Hằng số pi
• a: Nửa trục lớn
• b: Nửa trục nhỏ
• √: Dấu căn bậc hai

Công thức này dựa trên ý tưởng lấy trung bình hình học của các bán trục. Nó rất dễ tính toán và cho kết quả khá tốt đối với elip không quá dẹt. Tuy nhiên, độ chính xác giảm đáng kể khi elip trở nên dẹt hơn. Công thức này thường được sử dụng trong các tính toán sơ bộ hoặc khi chỉ cần ước lượng nhanh.

Công thức dựa trên hàm elliptic

Công thức dựa trên hàm elliptic: P = 4aE(e)

Trong đó:

• P: Chu vi của elip
• a: Nửa trục lớn
• E(e): Tích phân elliptic loại hai hoàn chỉnh
• e: Độ lệch tâm

Trong đó E(e) là tích phân elliptic loại hai hoàn chỉnh. Công thức này chính xác về mặt toán học nhưng đòi hỏi việc tính toán một hàm đặc biệt. Trong thực tế, nó thường được thực hiện thông qua các thư viện toán học chuyên dụng hoặc bảng tra cứu. Công thức này đặc biệt hữu ích trong các ứng dụng khoa học và kỹ thuật cao cấp đòi hỏi độ chính xác tuyệt đối.

Ứng dụng thực tiễn của hình elip

Trong cuộc sống hàng ngày, không quá khó để chúng ta bắt gặp hình ảnh của một vật có dạng hình oval. Hình dạng này có nhiều ứng dụng thú vị trong thực tế có thể kể đến như:

Trong thiên văn học

Trong thiên văn học, hình elip đóng vai trò quan trọng trong mô tả quỹ đạo của các hành tinh. Theo định luật Kepler, các hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời theo quỹ đạo elip, với Mặt Trời nằm tại một trong hai tiêu điểm.

Hiểu biết này giúp các nhà khoa học dự đoán chính xác vị trí của các thiên thể và lập kế hoạch cho các nhiệm vụ không gian.

Trong kiến trúc và âm học

Trong kiến trúc và âm học, tính chất phản xạ của hình elip được ứng dụng để thiết kế “phòng thì thầm”. Trong những phòng có hình dạng elip này, âm thanh phát ra từ một tiêu điểm sẽ tập trung tại tiêu điểm còn lại. Nó cho phép người ở hai đầu phòng có thể nghe rõ tiếng nói của nhau dù nói rất khẽ, trong khi những người ở vị trí khác không nghe được.

Trong y học

Trong y học, hình elip được sử dụng trong thiết kế máy tán sỏi thận. Thiết bị này tạo ra sóng xung kích tập trung vào viên sỏi, sử dụng nguyên lý phản xạ của hình elip.

Sóng xung kích được tạo ra tại một tiêu điểm và tập trung vào tiêu điểm còn lại, nơi đặt viên sỏi, giúp phá vỡ sỏi mà không cần phẫu thuật xâm lấn.

Trong quang học

Trong quang học, mặt cắt của các thấu kính và gương thường có dạng elip. Điều này giúp tập trung ánh sáng hiệu quả, được ứng dụng trong nhiều thiết bị như kính thiên văn, kính hiển vi, và hệ thống chiếu sáng.

Đặc biệt, gương elip được sử dụng trong đèn pha ô tô để tạo ra chùm sáng tập trung.

Trong kỹ thuật cơ khí

Trong kỹ thuật cơ khí, cam elip được sử dụng trong các động cơ để chuyển đổi chuyển động quay thành chuyển động tịnh tiến. Hình dạng elip của cam cho phép tạo ra các mô hình chuyển động phức tạp và chính xác, được ứng dụng trong nhiều máy móc công nghiệp.

Lời kết

Hy vọng rằng bài viết trên đây của chúng tôi đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích về hình elip là gì, tính chất và ứng dụng của nó trong đời sống như thế nào. Hiểu biết về hình elip có thể giúp ích rất nhiều cho chúng ta trong việc học tập, nghiên cứu cũng như một số công việc đặc thù.